5.5用二次函数解决问题
（1）-苏科版九年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2、用长8
m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(
)
A.
m2
B.
m2
C.
m2
D.4
m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是(
)
A.
5月
B.
6月
C.
7月
D.
8月
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(
)
A．5元
B．10元
C．0元
D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价
( )
A.20元
B.15元
C.10元
D.5元
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.
20
B.
1508
C.
1558
D.
1585
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A.
140元
B.
150元
C.
160元
D.
180元
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形?ACD和?BCE，那么DE长的最小值是_______.
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1
m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27
m，则能建成的饲养室面积最大为____
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________
米时，花圃有最大面积，最大面积为________
平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.?
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
mm，BC＝24
mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2
mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4
mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到______
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8
cm，∠B＝30°，若边长AB＝x
cm：
(1)写出?ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50
m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2
m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2
m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25
m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40
m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x
m，绿化带的面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
5.5用二次函数解决问题
（1）-苏科版九年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
[解析]B
由题意，得y＝(x－21)(350－10x)＝－10x2＋560x－7350.
2、用长8
m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C
)
A.
m2
B.
m2
C.
m2
D.4
m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是(
)
A.
5月
B.
6月
C.
7月
D.
8月
【解析】试题解析：y=-n2+14n-24=-（n-7）2+25，
∵-1＜0，∴开口向下，y有最大值，
即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润,
故选C.
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A
)
A．5元
B．10元
C．0元
D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价
( )
A.20元
B.15元
C.10元
D.5元
[解析]
D
设这种商品每个降价x元,每天的利润为y元,则降价后,每个商品的利润为100-70-x=(30-x)元,平均每天的销售量为(20+x)个,所以y=(30-x)(20+x)=-x2+10x+600.当x=-=5时,y取得最大值.
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.
20
B.
1508
C.
1558
D.
1585
【解析】由题意知，一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，
且15≤x≤22，根据二次函数的开口方向向下，可知当x=20时，
．
故选：C．
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A.
140元
B.
150元
C.
160元
D.
180元
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100-10x）=-200x2+1000x+10000．
当x=-时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元．
故选C．
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形?ACD和?BCE，那么DE长的最小值是_______.
【详解】设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE2=DC2+CE2=x2+（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，
故答案为：1．
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1
m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27
m，则能建成的饲养室面积最大为75m2
.
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________
米时，花圃有最大面积，最大面积为________
平方米．
答案：S＝－2x2＋10x
[解析]
由题意知平行于墙的一边长为(10－2x)米，则S＝x(10－2x)＝－2(x－)2＋(0所以当x＝时，花圃有最大面积，最大面积为平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
[解析]
由题意可得y＝(6－x)x，即y＝－x2＋6x，当x＝3时，y有最大值．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.?
[解析]
设销售单价涨价x元,一周内获得的利润为y元,则涨价后,每件的利润为60+x-40=(x+20)元,平均每天的销售量为(300-10x)个,所以y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6000.当x=-=5时,y取得最大值.
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
mm，BC＝24
mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2
mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4
mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
[解析]
设P，Q同时出发后，经过的时间为t
s，四边形APQC的面积为S
mm2，
则有S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×24－×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.
∵4＞0，
∴当t＝3时，S取得最小值．故答案为3.
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到__9____
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
[解析]
设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．
∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，
∴当x＝－＝－＝20时，y最大，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____12.5____cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8
cm，∠B＝30°，若边长AB＝x
cm：
(1)写出?ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
答案：(1)y＝－x2＋2x(018、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50
m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2
m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2
m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋(0∴当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室的一边长x为25
m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积y最大．
∵26－25＝1(m)≠2
m，∴小敏的说法不正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25
m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40
m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x
m，绿化带的面积为y
m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
解：
(1)∵四边形ABCD为矩形，BC＝x
m，
∴AB＝
m.
根据题意，得y＝AB·BC＝·x＝－x2＋20x(0＜x≤25)．
(2)∵y＝－x2＋20x＝－(x－20)2＋200，
∴当x＝20时，绿化带的面积最大．
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
答案：（1），
（2）,
（3）=-20(x-10)+500
当定价为10角时，利润最大，为500角.
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
解：(1)W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x
2＋60x＋8000，
W2＝19(50－x)＝－19x＋950.
(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950(x为整数)．
∵－2＜0，抛物线的开口向下，－＝，
∴当0≤x<时，W随x的增大而增大；
当又∵x取整数，故当x＝10时，W最大，
W最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.
即当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
答案：
(1)S
＝,
(2)()，
当t＝5时，S最大值＝此时E在BC中点，F在CD中点.
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
解：(1)依题意，得y＝120－2t.
当t＝30时，y＝120－60＝60.
答：在第30天的日销售量为60千克．
(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.
当1≤t≤24时，W＝(t＋30－20)(120－2t)＝－t2＋10t＋1200＝－(t－10)2＋1250.
当t＝10时，W最大＝1250.
当25≤t≤48时，W＝(－t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.
由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.
∵1250>1085，
∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．
(3)依题意，得
每天扣除捐款后的日销售利润W＝(t＋30－20－n)(120－2t)＝－t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.
其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．
由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.
又∵n<9，∴7≤n<9.5.5用二次函数解决问题
（2）-苏科版九年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4
m时，这时水面宽度AB为(
)
A．－20
m
B．10
m
C．20
m
D．－10
m
2、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(
)
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
3、有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A.
2.76米
B.
6.76米
C.
6米
D.
7米
4、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是(
)
A．3.5
m
B．4
m
C．4.5
m
D．4.6
m
5、图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（
）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
6、平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4
m，距地高均为1
m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1
m，2．5
m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5
m，则学生丁的身高为
(
)
A.
1.5
m
B.
1.625
m
C.
1.66
m
D.
1.67
m
7、一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4
m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05
m，在如图
(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2
m
8、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4
二、填空题
9、如图某涵洞是抛物线形，其所对应的函数关系为．当涵洞顶离水面4.5米时，水位线AB的宽为________米．
10、如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
11、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线形的廊桥示意图，函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．（保留根号）
12、竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________
13、隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=，一辆车高3m，
宽4m，
该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
14、平时我们在跳绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线,如图建立直角坐标系,抛物线的函数
解析式为y=-x2+x+,绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2处跳绳的学生小明的头顶,
则小明的身高为
米.?
15、两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F.
若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
三、解答题
16、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远(结果精确到0.01米)?
17、如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
18、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长
BC为8
m，宽AB为2
m，以BC所在的直线为x轴，线段BC
的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m
.
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
一辆货运卡车高m，宽m，它能通过该隧道吗？
(3)
如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
19、如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出吗的值？
5.5用二次函数解决问题
（2）-苏科版九年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4
m时，这时水面宽度AB为(
C
)
A．－20
m
B．10
m
C．20
m
D．－10
m
2、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(
A
)
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
3、有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A.
2.76米
B.
6.76米
C.
6米
D.
7米
【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得﹣4=a×102?a=﹣
故此抛物线的解析式为y=﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米,所以令x=9时,可得y=-=﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选B．
4、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是(
B
)
A．3.5
m
B．4
m
C．4.5
m
D．4.6
m
5、图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（
）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
【解析】根据题意，由AC⊥x轴，OA=10米，可知点C的横坐标为-10，然后把x=-10代入函数的解析式=-，即C点为（-10，-），因此可知桥面离水面的高度AC为m.
故选：B.
6、平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4
m，距地高均为1
m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1
m，2．5
m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5
m，则学生丁的身高为
(
)
A.
1.5
m
B.
1.625
m
C.
1.66
m
D.
1.67
m
【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），
（3，1）三点，易求其解析式为y=-?x2+?x+?,
∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.
故选B.
7、一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4
m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05
m，在如图
(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2
m
[解析]
∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－.
∴y＝－x2＋3.5.可见选项A正确．
由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B错误．
由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C错误．
将x＝－2.5代入抛物线的解析式，得y＝－×(－2.5)2＋3.5＝2.25，
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25
m可见选项D错误．
故选A.
8、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4
详解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；
故（2）（3）正确；
解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，
故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选：C．
二、填空题
9、如图某涵洞是抛物线形，其所对应的函数关系为．当涵洞顶离水面4.5米时，水位线AB的宽为____6______米．
10、如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
【解析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-，即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
11、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线形的廊桥示意图，函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__8____米．（保留根号）
12、竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝_____1.6___
13、隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=，一辆车高3m，
宽4m，
该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
【解析】根据题意，当函数值等于3时，3=—，可以解得到，
，
｜｜=2<4m，故车不能通过.
故答案为：不能.
14、平时我们在跳绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线,如图建立直角坐标系,抛物线的函数
解析式为y=-x2+x+,绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2处跳绳的学生小明的头顶,
则小明的身高为 1.5 米.?
15、两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F.
若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）,
F(25,6.2)代入得，
解之得
，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm,
恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得h2+20h-10=0,
解之得
,
（舍去）.
∴向后退了m
三、解答题
16、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远(结果精确到0.01米)?
(1)设二次函数表达式为y＝a(x－6)2＋5，将A(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋5，解得a＝－.
∴二次函数表达式为y＝－(x－6)2＋5.
(2)由－(x－6)2＋5＝0，得x1＝6＋2，x2＝6－2.
结合图象可知：C点坐标为(6＋2，0)．∴OC＝6＋2≈13.75(米)．
答：该男生把铅球推出去约13.75米．
17、如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
解：设大孔对应的抛物线的函数关系式为y＝ax2＋6.
依题意，得B(10，0)．∴a×102＋6＝0.解得a＝－0.06.即y＝－0.06x2＋6.
当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5.解得x＝±5.∴DF＝5，EF＝10.
答：此时大孔的水面宽度为10米
18、如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长
BC为8
m，宽AB为2
m，以BC所在的直线为x轴，线段BC
的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m
.
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
一辆货运卡车高m，宽m，它能通过该隧道吗？
(3)
如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
解析：(1)
根据题意，A（－4，2），D（4，2）
，E（0，6）,设抛物线的解析式为，把A（－4，2）或D（4，2）代入得解析式为.
(2)
根据题意，把
代入解析式，得.∵
5.64
＞4.5,∴
货运卡车能通过．
(3)
根据题意，把
代入解析式得.∵4.31
＜
4.5,∴
货运卡车不能通过．
19、如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出吗的值？
解：（1）∵MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，
∴N（4，0），顶点P（2，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+4，
把N（4，0）代入得：0=a（4﹣2）2+4，
解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+4，
即：抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（m，0），∴BC=4﹣2m，DC═﹣m2+4m，∴L=2（BC+DC）=﹣2m2+4m+8；
（3）能等于9.5，
当L=﹣2m2+4m+8=9.5，即2m2﹣4m+1.5=0，解得：m1=，m2=．
