苏科版九年级数学下册5.5用二次函数解决问题复习-巩固训练（word解析版）

5.5用二次函数解决问题
复习
-苏科版九年级数学下册
巩固训练
一、选择题
1、如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为(　　)
A．800平方米
B．750平方米
C．600平方米
D．2400平方米
2、小敏用一根长为8
cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(　　)
A．4
cm2
B．8
cm2
C．16
cm2
D．32
cm2
3、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图5－5－5)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是(　　)
A．3.5
m
B．4
m
C．4.5
m
D．4.6
m
4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m
B．4m
C．4
m
D．4m
5、广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　）
A．1米
B．2米
C．5米
D．6米
6、某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价为偶数提高（
）
A.
8元或10元
B.
12元
C.
8元
D.
10元
7、用长为12
m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x
m，五边形ABCDE的面积为S
m2，则S的最大值为(　　)
A．12
B．12
C．24
D．没有最大值
8、如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是(　　)
A．当小球抛出高度达到7.5
m时，小球距点O的水平距离为3
m
B．小球距点O的水平距离超过4
m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7
m
D．小球距点O的水平距离为2.5
m和5.5
m时的高度相同
9、如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，
设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（
）
A.
3m
B.
6m
C.
D.
10、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40
m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s.
其中正确的是(　　)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
二、填空题
11、已知一个直角三角形两直角边之和为20
cm,则这个直角三角形的最大面积为________
12、如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形ABCD的面积最大．
13、航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为h＝﹣10t2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为　　　秒．
14、如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为　　　　　　．
15、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1
m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27
m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
16、某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是　　s．
17、如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9
m，AB＝36
m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7
m，则DE的长为________m.
18、铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是　　m，铅球落地时的水平距离是　　　m．
三、解答题
19、如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-x+3x+1的一部分.
(1)求演员弹跳离地面的最大高度;
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.
20、如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，点Q以2
cm/s的速度向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
(1)经过几秒，P，Q两点之间的距离是10
cm?
(2)P，Q两点之间的距离何时最小？
21、一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线成45°角，水流最高点C比喷头高2米，
求：(1)点C的坐标；(2)此抛物线的解析式；(3)水流落点D到点A的距离．
22、如图所示,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12
m,宽是4
m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用
y=x+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3
m时,到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数解析式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m,宽为4
m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8
m,那么两排灯的水平距离最小是多少?
5.5用二次函数解决问题
复习
-苏科版九年级数学下册
巩固训练（答案）
一、选择题
1、如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为(　　)
A．800平方米
B．750平方米
C．600平方米
D．2400平方米
[解析]
设矩形场地中平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
围成矩形场地的面积为y平方米，
则y＝x·＝－x2＋40x＝－(x－40)2＋800.
∵a<0，∴x<40时，y随x的增大而增大，由于墙长为30米，∴0∴当x＝30时，y取得最大值，为－×(30－40)2＋800＝750.
故选B
2、小敏用一根长为8
cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(　A　)
A．4
cm2
B．8
cm2
C．16
cm2
D．32
cm2
[解析]
设矩形的一边长为x
cm，则另一边长为cm，
故矩形的面积S＝x＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所
以当x＝2时，S最大值＝4.故矩形的最大面积为4
cm2.
3、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图5－5－5)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是(　　)
A．3.5
m
B．4
m
C．4.5
m
D．4.6
m
[解析]
当y＝3.05时，－x2＋3.5＝3.05，解得x1＝－1.5(舍去)，x2＝1.5，
∴l＝2.5＋1.5＝4(m)．
故选B.
4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m
B．4m
C．4
m
D．4m
【解答】解：根据题意，得OA＝12，OC＝4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣＝＝6，∴b＝2，
∵C（0，4），∴c＝4，
所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣6）2+10
当y＝8时，8＝﹣（x﹣6）2+10，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．
则x1﹣x2＝4．所以两排灯的水平距离最小是4．故选：D．
5、广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　）
A．1米
B．2米
C．5米
D．6米
【解答】解：方法一：
根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4）＝﹣（x﹣2）2+6
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：因为对称轴x＝＝2，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
故选：B．
6、某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价为偶数提高（
）
A.
8元或10元
B.
12元
C.
8元
D.
10元
解：依题意，得
，，
抛物线开口向下，函数有最大值，
即当时，y的最大值为605，
售价为偶数，为18或20，
当时，，
当时，，
为18或20时y的值相同，
商品提高了元或元，
故选A．
7、用长为12
m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x
m，五边形ABCDE的面积为S
m2，则S的最大值为(　　)
A．12
B．12
C．24
D．没有最大值
　[解析]
连接EC，过点D作DF⊥EC，垂足为F.
∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，∠EAB＝∠CBA＝90°，∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°.
∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠CEA＝∠ECB＝90°，∴四边形EABC为矩形．
∵DE＝x
m，∴AE＝(6－x)m，DF＝x
m，EC＝x
m，
∴S＝·x·x＋(6－x)·x＝－x2＋6
x(0.
故选A
8、如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是(　　)
A．当小球抛出高度达到7.5
m时，小球距点O的水平距离为3
m
B．小球距点O的水平距离超过4
m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7
m
D．小球距点O的水平距离为2.5
m和5.5
m时的高度相同
[解析]
令y＝7.5，得4x－x2＝7.5.解得x1＝3，x2＝5.可见选项A错误．
由y＝4x－x2得y＝－(x－4)2＋8，∴对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，选项B正确．
联立y＝4x－x2与y＝x，解得或∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，，可见选项C正确．
由对称性可知选项D正确．
综上所述，只有选项A中的结论是错误的，故选A.
9、如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，
设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（
）
A.
3m
B.
6m
C.
D.
解：如图建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意，得解得?；
当时，即，解得：，
拱桥内的水面宽度，
故选B．
10、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40
m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s.
其中正确的是(　　)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
[解析]
①由图象知小球在空中达到的最大高度是40
m，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a(t－3)2＋40，
把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40.解得a＝－，
∴函数解析式为h＝－(t－3)2＋40.
把h＝30代入解析式，得30＝－(t－3)2＋40，
解得t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s或4.5
s，故④错误．
故选D.
二、填空题
11、已知一个直角三角形两直角边之和为20
cm,则这个直角三角形的最大面积为(　B　)
(A)25
cm2
(B)50
cm2
(C)100
cm2
(D)不确定
12、如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形ABCD的面积最大．
　[解析]
设AB＝x
m，则AB＝EF＝CD＝x
m，所以AD＝BC＝(900－3x)m.设矩形ABCD的面积为y
m2，
则y＝x·(900－3x)＝－x2＋450x(0＜x＜300)．由于二次项系数小于0，
所以y有最大值，且当x＝－＝－＝150时，函数y取得最大值．
故当AB＝150
m矩形ABCD的面积最大．
13、航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为h＝﹣10t2+700t+21000（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为　　　秒．
【解答】解：依题意，得：﹣10t2+700t+21000＝31000，
解得：t1＝20，t2＝50，
∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为50﹣20＝30（秒）．
故答案为：30．
14、如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为　　　　　　．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＜0），
点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），
它的坐标代入y＝ax2（a＜0），求得a＝﹣，
所求解析式为y＝﹣x2．再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），
则有：﹣0.9＝﹣x2．，解得：x＝±，所以宽度为，
故答案为：．
15、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1
m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27
m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
[解析]
设与墙垂直的一边的长为x
m，则与墙平行的一边的长为27－(3x－1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，
∴当x＝－＝5时，S最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.
故能建成的饲养室总占地面积最大为75
m2.
16、某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是　　s．
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2，
∴当h＝0时，t＝0或t＝6，
∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，
故答案为：6．
17、如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9
m，AB＝36
m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7
m，则DE的长为________m.
[解析]
建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H.
∵AB＝36
m，∴AH＝BH＝18
m.
由题可知：OH＝7
m，CH＝9
m，∴OC＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－，∴y＝－x2＋16.
当y＝0时，0＝－x2＋16，∴－x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24
m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．
18、铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是　　m，铅球落地时的水平距离是　　　m．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3
因为﹣＜0,所以当x＝4时，y有最大值为3．
所以铅球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）,所以铅球落地时的水平距离是10m．
故答案为3、10．
三、解答题
19、如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-x+3x+1的一部分.
(1)求演员弹跳离地面的最大高度;
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.
解:(1)y=-x2+3x+1=-(x-)2+,
所以当x=时,y有最大值,
所以演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.
(2)能表演成功.理由如下:
当x=4时,y=-×42+3×4+1=-9.6+13=3.4,
即点B(4,3.4)在抛物线y=-x2+3x+1上,
所以能表演成功.
20、如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，点Q以2
cm/s的速度向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
(1)经过几秒，P，Q两点之间的距离是10
cm?
(2)P，Q两点之间的距离何时最小？
解：(1)设经过x
s，P，Q两点之间的距离是10
cm，
则AP＝3x，CQ＝2x，过点Q作QM⊥AB于点M，
则PM＝|16－2x－3x|＝|16－5x|.
根据勾股定理，得PM2＋QM2＝PQ2，即(16－5x)2＋62＝102，
解得x1＝1.6，x2＝4.8.
答：经过1.6
s或4.8
s，P，Q两点之间的距离是10
cm.
(2)∵PQ＝，
∴当16－5x＝0，即x＝时，PQ最小．
故当点P，Q出发
s时，PQ最小．
21、一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线成45°角，水流最高点C比喷头高2米，
求：(1)点C的坐标；(2)此抛物线的解析式；(3)水流落点D到点A的距离．
解：(1)过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥x轴于点F，则∠CBE＝45°，∴EC＝EB＝2米．
∵AB＝1.5米，∴CF＝AE＝AB＋BE＝1.5＋2＝3.5(米)，∴C(2，3.5)．
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3.5.
∵抛物线过点B(0，1.5)，∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，∴a＝－，
∴y＝－(x－2)2＋3.5＝－x2＋2x＋.
(3)∵抛物线与x轴相交时，y＝0，∴0＝－x2＋2x＋，即x2－4x－3＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－(舍去)，∴AD＝2＋，即水流落点D到点A的距离为(2＋)米．
22、如图所示,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12
m,宽是4
m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用
y=x+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3
m时,到地面OA的距离为m.
(1)求该抛物线的函数解析式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m,宽为4
m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8
m,那么两排灯的水平距离最小是多少?
解:(1)由题意,知点B,C,B1的坐标分别为(0,4),(3,),(12,4),
把B(0,4),C(3,)代入y=x+bx+c,得解得
所以该抛物线的函数解析式为y=-x+2x+4.
因为y=-x+2x+4=(x-6)+10,
所以点D的坐标为(6,10),
所以拱顶D到地面OA的距离为10
m.
(2)这辆货车能安全通过.理由如下:
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),
当x=2或x=10时,y=>6,
所以这辆货车能安全通过.
(3)把y=8代入y=-x2+2x+4,得8=-x2+2x+4,
解得x1=6+2,x2=6-2,
则x1-x2=4.
所以两排灯的水平距离最小是4
m.