2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第25章 图形的相似》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第25章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．如果4x﹣5y＝0，那么的值是（　　）
A．
B．
C．
D．4
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　）
A．21cm
B．14cm
C．6cm
D．24cm
4．等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知△OAB边长为6，且△OAB与△OA′B′关点O成位似图形，且位似比为1：2，则点A′的坐标可能是（　　）
A．（﹣6，6）
B．（6，6）
C．（﹣3，﹣3）
D．（6，﹣6）
5．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（　　）cm．
A．16
B．16或28
C．36
D．16或36
7．如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（　　）
A．
B．
C．﹣1
D．﹣1
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．＝
B．＝
C．∠ACD＝∠B
D．∠ADC＝∠ACB
9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
10．下列说法正确的是（　　）
A．x2＝mx的根为x＝m
B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1
C．任意两个菱形都相似
D．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
二．填空题
11．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，此时点A1的坐标为　
　．
12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是　
　．
13．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，则四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为　
　．
14．如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是　
　．
15．如图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F．若CF＝2，则DF的长为　
　．
16．已知2x＝5y（且x≠0），则＝　
　．
17．已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是　
　．
18．已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB?PB，如果AB＝2，那么AP＝　
　．
19．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n与直线l1、l2、l3分别交于点A、D、F，直线n与直线l1、l2、l3分别交于B，C，E．若＝，则＝　
　．
20．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是　
　．
三．解答题
21．在一张比例尺为1：20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．
22．已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求a+b﹣c的值．
23．如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设＝，AD＝12，求线段BD的长．
25．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点是网格线的交点）和点O，按要求在网格内画出下列图形．
（1）以D为旋转中心，将四边形ABCD逆时针旋转90°，得到四边形A1B1C1D1；
（2）以O为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，使放大前后的面积之比为1：4，得到四边形A2B2C2D2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵4x﹣5y＝0，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝；
故选：C．
2．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝＝，所以B选项的结论错误；
∴＝＝，所以A选项的结论错误；
＝＝，所以C选项的结论正确；
＝（）2＝，所以D选项的结论错误．
故选：C．
3．解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
设屏幕上的图形高是xcm，则＝，
解得：x＝21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
4．解：作AC⊥OB于C，
∵△OAB为等边三角形，AC⊥OB，
∴OC＝OB＝3，
∴AC＝＝3，
∴点A的坐标为（3，3），
∵△OAB与△OA′B′关点O成位似图形，且位似比为1：2，
∴点A′的坐标为（3×2，3×2）或（﹣3×2，﹣3×2），即（6，6）或（﹣6，﹣6），
故选：B．
5．解：A、∵，不能判定DE∥AC，选项符合题意；
B、∵，∴DE∥AC，选项不符合题意；
C、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
D、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
故选：A．
6．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选：D．
7．解：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝＝，
∵BC＝AB，AB＝1，
∴BC＝1，
∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，
即OP＝﹣1，
∵OP的中点是D，
∴OD＝OP＝×（﹣1）＝，
即点D表示的数是，
故选：A．
8．解：A、根据两边成比例夹角相等，可以证明三角形相似，本选项不符合题意．
B、无法判断三角形相似，本选项符合题意．
C、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
D、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
故选：B．
9．解：如图：连接BE，
，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
10．解：A、x2＝mx的根为x＝m或x＝0，选项错误，不符合题意；
B、若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝﹣1，选项错误，不符合题意；
C、角不相等，所以任意两个菱形不一定相似，选项错误．不符合题意；
D、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，选项正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，△A1B1C1为所作；点A1的坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣2，﹣2）．
12．解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，
∴这两个多边形的面积比是52：22，
即这两个多边形的面积比是25：4，
故答案为：25：4．
13．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似比为1：3，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为：1：3．
故答案为：1：3．
14．解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即4：10＝1.6：DE，
∴DE＝4m，
故答案为：4m．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴△BCF∽△EDF，
∴，
∴＝，
∴DF＝1，
故答案为：1．
16．解：∵2x＝5y（且x≠0），
∴y＝x，
∴＝＝；
故答案为：．
17．解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：
，解得：x＝24，y＝15；
∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3；
∵△ABC的周长＝5+7+8＝20，
∴△DEF的周长为60，
故答案为：60．
18．解：设AP＝x，则PB＝2﹣x，
由题意，x2＝2（2﹣x），
解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃）
故答案为：﹣1．
19．解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
故答案为：．
20．解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：
S△A′B′C′＝×4×2＝4，
故答案为4．
三．解答题
21．解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：20，周长的比就是相似比，设实际周长是xcm，则
24：x＝1：20，
解得：x＝480，
面积的比等于相似比的平方，设实际面积是ycm2，则
20：y＝（1：20）2，
解得y＝8000，
答：这个区域的实际周长480cm，面积8000cm2．
22．解：由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，
∴2k+9k﹣8k＝15，
∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20，
∴a+b﹣c
＝10+15﹣20
＝5．
23．解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF＝，
∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，
∴S3：S2＝（GF?FH）：（BC?BE）
＝（×）：（1×）
＝．
故答案为：．
24．证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∵AD＝12，
∴＝，
∴BD＝6．
25．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，
21.6km/h＝21.6×＝6m/s，
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ，
∴，
∴＝，
∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
26．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
27．解：（1）如图，四边形A1B1C1D1为所作；
（2）如图，四边形A2B2C2D2为所作．