2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第26章 解直角三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第26章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．锐角三角函数tan30°的值是（　　）
A．1
B．
C．
D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝＝（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么下列说法中正确的是（　　）
A．cosB＝
B．cotA＝
C．tanA＝
D．cotB＝
6．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
9．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米，则旗杆的高度AB为（　　）（结果精确到0.1，参考数据：tan35°≈0.7，tan65°≈2.1）．
A．19.8米
B．19.7米
C．18.3米
D．16.2米
二．填空题
11．用计算器计算?sin40°＝　
　（精确到0.01）．
12．已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，那么tanα＝　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　
　．
14．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为　
　海里．
15．若sinA＝，则tanA＝　
　．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则cosB的值是　
　．
17．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为　
　米．
18．一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB＝30米时，物体升高　
　米．
19．如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为　
　m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　
　．
三．解答题
21．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而　
　．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
23．计算：8sin260°+tan45°﹣4cos30°．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的余切值．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．
27．如图是某幼儿园的两个同一水平面AF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC＝EF＝4m，∠ABC＝30°，∠EFD＝53°，且对角线CE所在的四边形是正方形．若小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，试计算说明，小红和小芳谁走的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：tan30°＝．
故选：B．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：C．
3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴cosA＝＝＝，∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故选：A．
4．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA＝＝＝
A、cosB＝sinA＝，故本选项符合题意．
B、cotA＝＝＝2．故本选项不符合题意．
C、tanA＝＝＝．故本选项不符合题意．
D、cotB＝tanA＝．故本选项不符合题意．
故选：A．
6．解：利用该型号计算器计sin52°，按键顺序正确的是：
，
故选：B．
7．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴A′B′＝AB＝5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，
∴cosβ＝．
故选：A．
8．解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
9．解：如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
10．解：作CG⊥AF于G，DH⊥CG于H，如图所示：
则HG＝DF，FG＝DH，
∵楼梯CD的坡度为3：4，CD＝3.5，
∴FG＝DH＝2.1，CH＝2.8，
在Rt△ACG中，∠ACG＝35°，tan∠ACG＝＝tan35°≈0.7，
∴AG≈0.7CG，
∴AF＝AG+FG＝0.7CG+2.1，
∵DF＝HG＝CG﹣CH＝CG﹣2.8，
∴EF＝DF﹣DE＝CG﹣2.8﹣15＝CG﹣17.8，
在Rt△AEF中，∠AEF＝65°，tan∠AEF＝＝tan65°≈2.1，
∴AF＝2.1EF，
∴0.7CG+2.1＝2.1（CG﹣17.8），
解得：CG＝28.2，
∴AF＝0.7×28.2+2.1＝21.84，
∴AB＝AF﹣BF＝21.84﹣3.5≈18.3（米），
即旗杆的高度AB约为18.3米；
故选：C．
二．填空题
11．解：
sin40°＝1.44．（精确到0.01）．
故答案为1.44．
12．解：∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得，α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1，
故答案为：1．
13．解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，
故答案为：．
14．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，
在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，
故答案为：15．
15．解：∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
则tanA＝．
故答案为：．
16．解：如图所示：∵∠C＝90°，tanA＝，
∴＝，
设BC＝3x，AC＝4x，故AB＝5x，
则cosB＝＝＝．
故答案是：．
17．解：∠MAN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MAN﹣∠ABM＝30°﹣15°＝15°，
∴∠AMB＝∠ABM，
∴AM＝AB＝50米，
在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，
∴MN＝AM＝25米；
故答案为：25．
18．解：∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sinα＝＝，
∴上升的高度是：30×＝3（米）．
故答案为：3．
19．解：如图：AC＝3m，∠B＝37°，
∴AB＝≈＝5，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．
故答案为8．
20．解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x，
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x，
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，
∴x＝3，
解得：x＝，
即BC＝，
故答案为：．
三．解答题
21．解：（1）∵CA⊥AO，
∴△FOA和△EOA均为直角三角形．
∴tan∠AOF＝，tan∠AOE＝．
∴tan∠AOF＞tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
故答案为：增大．
22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝
23．解：原式＝8×（）2+1﹣4×
＝8×+1﹣2
＝6+1﹣2
＝7﹣2．
24．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
25．解：过点A作AH⊥BH
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
26．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
27．解：小红走的路程更短，约短0.63m，理由如下：
如图所示：
由题意得：DG＝AC，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴DG＝AC＝BC＝2m，AB＝AC＝2m，
∵sin∠EFD＝，cos∠EFD＝，
∴DE＝EF×sin53°≈4×＝3.2（m），DF＝EF×cos35°≈4×＝2.4（m），
∴EG＝DE﹣DG＝1.2m，
∵四边形CGEH是正方形，
∴CE＝EG＝×1.2≈1.69（m），
∵小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，
∴小红走的路程为CD+BC+BA+AD，小芳走的路程为CD+CE+EF+DF，
∴小芳比小红走的路程短AB+AD﹣CE﹣DF＝2+1.2﹣1.69﹣2.4≈0.6（m）．