人教A版（2019）必修 第一册 第五章 三角函数 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（重难点突破）（Word）

专题11
任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点一
角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二
弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝
rad；②1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点三
任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin
α
叫做α的余弦，记作cos
α
叫做α的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
考点四
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan
α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
表达式中含有sin
θ，cos
θ与tan
θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝
(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ＝tan
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ进行变形、转化
表达式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
考点五
三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan
α
tan_α
－tan_α
－tan_α
重难点题型突破
重难点题型突破1
任意角与弧度制
例1．（1）（2019·广东省高一月考）角弧度，则所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋
(k∈Z)
（3）．（2020·海南临高二中高二期末）（多选题）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【变式训练1-1】．（1）终边在直线上的角的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）.的角属于第_________象限.
（3）．的角化为角度制的结果为__________，
的角化为弧度制的结果为__________．
重难点题型突破2
扇形的弧长与面积公式
例2．（1）（2018·佛山市三水区实验中学高一月考）已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______.
（2）已知扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.[]
（3）已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.
【变式训练2-1】．（2019春?玉山县校级月考）已知在半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
（1）求弦AB所对圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．
【变式训练2-2】．（2019秋?常德期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计
算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则∠AOB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破3
三角函数的概念
例3．（1）（2018·库车县伊西哈拉镇中学高一月考）已知为角的终边上一点，且，那么的值等于________.
（2）若，且为第四象限角，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练3-1】．
已知角的终边上一点，且
（1）求的值；
（2）求出和.
【变式训练3-2】．已知任意角的终边经过点,且
(1)求的值．(2)求与的值．
重难点题型突破4
诱导公式
例4．（多选题）下列化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．cos225°=（
）
A.
B.
C.
D.
（3）已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　)
A．　　　　　　　　　
B．－
C．－
D．
【变式训练4-1】．（1）（2020?茂名二模）已知cos（π+α），则sin（α）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2）.已知=，则的值等于(
)
A．
B．－
C．
D．±
【变式训练4-2】．（2020·天津静海一中高一期末）
（1）已知，求；
（2）若，求的值；
（3）求的值；
（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？
重难点题型突破5
同角三角函数公式的应用
例5．（1）（2016·湖南高一学业考试）若，则____________.
（2）（2020?日照模拟）已知tanα＝1，则　　．
【变式训练5-1】．（2019秋?广安期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．
【变式训练5-2】．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知.
(1)求的值
(2)求的值.
课堂定时训练（45分钟）
1．（四川省宜宾市2018-2019学年教学质量监测）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2020全国Ⅱ）若为第四象限角，则（
）
A．
B．
C．
D．
3、已知，则（
）
A．
B．6
C．
D．
4．（2019·全国高一课时练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（
）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
5．（2019·浙江高一期中）已知，，则______；______.
6、扇形AOB的周长为8
cm.
(1)若这个扇形的面积为3
cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
7.（1）已知，求.
（2）若，求的值.
8．（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）
已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，π），且cos，求f（α）的值．
专题11
任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点一
角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二
弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝
rad；②1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点三
任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin
α
叫做α的余弦，记作cos
α
叫做α的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
考点四
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan
α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
表达式中含有sin
θ，cos
θ与tan
θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝
(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ＝tan
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ进行变形、转化
表达式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
考点五
三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan
α
tan_α
－tan_α
－tan_α
重难点题型突破
重难点题型突破1
任意角与弧度制
例1．（1）（2019·广东省高一月考）角弧度，则所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故选:C.
（2）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋
(k∈Z)
【答案】C
【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋
(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
故答案为：C
（3）．（2020·海南临高二中高二期末）（多选题）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为，
扇形面积为，所以B正确；
选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，，所以C正确；
选项D：角为锐角时，，所以D不正确，故选:BC
【变式训练1-1】．（1）终边在直线上的角的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】与终边在一条直线上的角的集合为，
∴与终边在同一直线上的角的集合是.故选A.
（2）.的角属于第_________象限.
【答案】二
【解析】在第二象限,所以的角属于第二象限
（3）．的角化为角度制的结果为__________，
的角化为弧度制的结果为__________．
【答案】
【解析】由题意得，
，
.
重难点题型突破2
扇形的弧长与面积公式
例2．（1）（2018·佛山市三水区实验中学高一月考）已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______.
【答案】
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为
,解得
故答案为：
（2）已知扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.[]
【答案】
【解析】由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，∴S扇形＝lr＝×20×＝.
（3）已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.
【答案】2
2
【解析】设扇形的半径是，因为扇形的周长为，圆心角为，
所有，解得，即扇形的半径为，所以扇形的面积为
【变式训练2-1】．（2019春?玉山县校级月考）已知在半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
（1）求弦AB所对圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．
【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
则△AOB为等边三角形，则∠AOB，即α，
（2）根据题意，由（1）的结论，l＝α×r＝2π，
Srl＝6π．
【变式训练2-2】．（2019秋?常德期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计
算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则∠AOB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由题意可得：AB，
弧田面积S（弦×矢+矢2）（矢+矢2）．
解得矢＝1，或矢＝1﹣2，（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则
，解得d＝1，r＝2，∴cos∠AOD，可得∠AOD，∴∠AOB．
故选：D．
重难点题型突破3
三角函数的概念
例3．（1）（2018·库车县伊西哈拉镇中学高一月考）已知为角的终边上一点，且，那么的值等于________.
【答案】.
【解析】由三角函数的定义得，则，且，
整理得，解得，故答案为：。
（2）若，且为第四象限角，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵sina=,且a为第四象限角,∴，
则，故选：D.
【变式训练3-1】．
已知角的终边上一点，且
（1）求的值；
（2）求出和.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）由题设知，∴（为原点），.
所以，∴，即，解得.
（2）当时，
，
，
当时，
，
，
【变式训练3-2】．已知任意角的终边经过点,且
(1)求的值．(2)求与的值．
【答案】(1)
;
(2)
,.
【解析】（1）∵角的终边经过点,
∴
,
又∵
∴,
得，
∴.
（2）解法一：
已知，且,由,
得,
∴．
（2）解法二：
若，则，得P(-3,4)，5
∴
,．
重难点题型突破4
诱导公式
例4．（多选题）下列化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
利用诱导公式，及
A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C不正确；
D选项：，故D不正确
故选：AB
（2）．cos225°=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由三角函数诱导公式可知：
故选C.
（3）已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　)
A．　　　　　　　　　
B．－
C．－
D．
【解析】选B　cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
【变式训练4-1】．（1）（2020?茂名二模）已知cos（π+α），则sin（α）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为，所以．故选：C．
（2）.已知=，则的值等于(
)
A．
B．－
C．
D．±
【答案】Ａ
【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ
【变式训练4-2】．（2020·天津静海一中高一期末）
（1）已知，求；
（2）若，求的值；
（3）求的值；
（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？
【解析】（1）用诱导公式化简等式可得
，代入可得.
故答案为.
（2）原式可化为：
，把代入，则原式.故答案为1．
（3）
故答案为.
（4）令，则
.解题中应注意角与角之间的关系.
重难点题型突破5
同角三角函数公式的应用
例5．（1）（2016·湖南高一学业考试）若，则____________.
【答案】
【解析】由已知得.故答案为：.
（2）（2020?日照模拟）已知tanα＝1，则　　．
【解答】解：∵tanα＝1，∴．故答案为：．
【变式训练5-1】．（2019秋?广安期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．
【解答】解：（1）
＝﹣cosα．
（2）∵α是第三象限角，且，∴sinα，
∴cosα，∴f（α）＝﹣cosα．
【变式训练5-2】．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知.
(1)求的值
(2)求的值.
【解析】（1）∵.∴，即
，
（2）由（1）知＜0，又
∴
∴
课堂定时训练（45分钟）
1．（四川省宜宾市2018-2019学年教学质量监测）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为在角的终边上，所以，从而求得，所以，而，故选A。
2．（2020全国Ⅱ）若为第四象限角，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．
【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确，故选D．
3、已知，则（
）
A．
B．6
C．
D．
【答案】B
【解析】化简所以，
故选B
4．（2019·全国高一课时练习）（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（
）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
【答案】CD
【解析】
由诱导公式二，知时，，所以A错误．
当（）时，，此时，
当（）时，，此时，所以B错误．
若（），则，所以C正确．
将等式两边平方，得，所以或．
若，则，此时；
若，则，此时，
故，所以D正确．
故选CD
5．（2019·浙江高一期中）已知，，则______；______.
【答案】
【解析】
，，,则,
,
故答案为：；.
6、扇形AOB的周长为8
cm.
(1)若这个扇形的面积为3
cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
【解析】　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或∴α＝＝或6.
(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤·2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值，∴r＝2
cm，∴弦长AB＝2×2sin1＝4sin1(cm)．
7.（1）已知，求.
（2）若，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）用诱导公式化简等式可得
，代入可得.故答案为；
（2）原式可化为：
把代入得故答案为1.
8．（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）
已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，π），且cos，求f（α）的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
（1）f（α）
＝﹣tanα．
（2）∵α∈（0，π），且cos，∴sinα，
∴f（α）＝﹣tanα1．
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