上海市实验学校2020-2021学年第一学期高一期中数学试卷（word含解析）

上海市实验学校2020-2021学年第一学期高一期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题）
下列条件中，使“”成立的充分不必要条件是
A.
B.
C.
D.
若a，b，，且，则下列不等式中，一定成立的是
A.
B.
C.
D.
设全集，或，，则集合是
A.
B.
C.
D.
定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则
A.
当时，
B.
当时，
C.
当时，
D.
当时，
二、填空题（本大题共10小题）
不等式的解集是______．
已知正数x，y满足，则的最小值是______．
已知关于x的不等式解集为空集，则实数k的取值范围是______．
化简：______其中，．
不等式的解集是______．
已知关于x的方程有两个实数根、，若，则k的值为______．
若不等式对一切实数恒成立，则实数a的取值范围是______．
已知关于x的不等式的解集为A，若且，则实数m的取值范围为______．
已知集合，，，若中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围______．
已知正数a，b满足，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题）
已知，且，求实数m的值；
已知，，试用a、b表示，．
当时，求证：；
已知，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1．
已知函数．
若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值；
解关于x的不等式．
设关于x的不等式和的解集分别为A和B．
求集合A；
是否存在实数a，使得？如果存在，求出a的值，如果不存在，请说明理由；
若，求实数a的取值范围．
对，的最小值为M．
若三个正数x，y，z满足，证明：；
若三个正数x，y，z满足，且恒成立，求实数m的取值范围．
已知集合中的元素都是正整数，且，集合A具有性质M：对于任意的x，，都有
Ⅰ判断集合2，3，是否具有性质M
Ⅱ求证：
Ⅲ求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：解之得：，
则选项中为的充分不必要条件，
故选：A．
先化简命题，再判断充要性．
本题考查充要性，以及不等式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：取，，，可判断选项A不一定成立；
取，，可判断选项B不一定成立；
取，则，可判断选项C不一定成立；
因为，所以，所以，故D一定成立．
故选：D．
由不等式的基本性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：全集，或，，
，
．
故选：C．
先求出，从而由此能求出结果．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，是基础题．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．
当时，，令的两根为，，且，根据韦达定理以及，的符号，判断，与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断的情况．
【解答】
解：当时，
，
令的两根为，，且，
则，且，
，，
且图象的对称轴为，
，
所以不等式的解集为，，
，
当时，结合穿针引线法可知l为无限大，
故选：B．
5.【答案】
【解析】解：不等式，即，，求得，或?，
故答案为：，．
原不等式即，即，由此求得x的范围．
本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】9
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．
有题意可得，再利用基本不等式即可求出．
【解答】
解：正数x，y满足，
则，当且仅当，时取等号，
故则的最小值是9，
故答案为：9．
7.【答案】
【解析】解：当时，原不等式可化为，符合解集为空集；
当时，则，解得，
综上，实数k的取值范围是．
故答案为：．
分和两种情况进行讨论，其中时，需结合二次函数的图象与性质进行分析．
本题考查含参不等式的解集问题，考查学生的分类讨论思想和运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】a
【解析】解：
原式，
故答案为：a．
根据指数幂的运算法则即可求出．
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不等式，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，不等式的解集是
故答案为：
分别求出当，，时不等式的解集，最后取并集，即可得解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
10.【答案】4
【解析】解：根据题意，关于x的方程有两个实数根、，
则，，
同时，解可得，
若，变形可得，即，
解可得或，
又由，则，
故答案为：4．
根据题意，由一元二次方程根与系数的关系可得，，同时有，解可得k的取值范围，将，变形可得，代入、关系式可得，解可得k的值，结合k的范围分析可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是得到关于k的方程，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由不等式对一切实数恒成立，
设，；
则，当且仅当时取等号；
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
设，；问题转化为，由绝对值不等式求出即可．
本题考查了含有绝对值的不等式恒成立问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：且，
且，
解得或且，
综上，或，
实数m的取值范围为．
故答案为：．
由且，可得且，解之即可．
本题考查一元二次不等式的解集问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】或
【解析】解：集合，，，
若中有且仅有一个元素，则由，
得在上有且仅有一解；
时方程有相等实根且在上，即，；
时，只有一根在上，两根之积为，
则，；
所以a的取值范围是或．
故答案为：或
由中有且仅有一个元素，等价于两个方程联立得到的方程组有且仅有一个根，利用判别式讨论，结合二次方程相应的函数，求出a的取值范围．
本题考查了二次方程的实数根分布问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
14.【答案】2
【解析】解：令，，对于正数a，b，t，
则，当且仅当取等号，
故，即的最小值为2，
故答案为：2．
利用换元法，与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题
15.【答案】解：，
，，
，
且，
；
，，
，
．
【解析】根据条件可得出，从而可得出，进而可得出m的值；
根据对数的换底公式和对数的运算即可用a，b表示出和．
本题考查了对数的定义，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】证明：
，
，，
?
假设a，b，c都小于1，即，，，
则有
而
与矛盾，
故a，b，c至少有一个不小于1．
【解析】本题考查反证法的运用，属于基础题注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．
根据作差法即可证明
根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．
17.【答案】解：函数，
不等式化为，
由该不等式的解集为，
所以，且1和2是方程的两根，
所以，
解得，；
不等式，即当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，此时，解得；
当时，不等式为，若，则，解得或；
若，则，不等式为，解得；
若，则，解得或；
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或．
【解析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；
不等式化为，讨论a的取值，从而求出不等式的解集．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．
18.【答案】解：不等式可化为，
解得或，所以不等式的解集为或；
当时，不等式化为，此时不等式无解，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式化为，此时不等式无解，
当时，，不等式的解集为，
综上所述：当或时，，
当或时，，
当时，，
要使，
当时，，，或，无解，
当时，，，，，无解，
故不存在实数a，使得．
，当时，，或，即，
解得或，
此时实数a的取值范围是，
当时，或?，即，
解得，
此时，实数a的取值范围是．
【解析】解一元二次不等式能求出集合A．
由，根据和分类讨论，得到不存在实数a，使得．
由，根据和分类讨论，能求出实数a的取值范围．
本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
19.【答案】解：证明：由，，
当且仅当时取得等号，可得，
又x，y，，，
同理可得，，
三式相加可得，，
当且仅当时，取得等号，
则；
恒成立，等价为，
由，
当且仅当可取得等号．
则，即，解得或，
即m的取值范围是．
【解析】由绝对值不等式的性质可得，再由基本不等式和累加法，即可得证；
运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式、柯西不等式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：由于，，，，，
集合2，3，具有性质P；
Ⅱ依题意有：2，，又，
因此：2，
可得：，2，
所以有：，即．
得证；
Ⅲ由，，可得，因此，同理，可得，．
又，可得，那么：，2，也均成立．
当时，取，则，可知．
又当时，，所以
因此集合A中元素个数的最大值为9．
【解析】Ⅰ利用性质对任意的x，，x，，都有，代入可判断
Ⅱ依题意有：2，，又，因此：2，，由此能够证明：．
Ⅲ由，可得由，因此，同理，可得，由此能够推导出集合A中元素个数的最大值．
本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化和变形．属于难题．