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特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α
cos(α＋2kπ)＝cos
α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
公式五
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
公式六
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
常用公式：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α；
小结：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式；
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”。
选择题
1.如果α，β满足α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ； ②sinα＝－sinβ；③cosα＝cosβ； ④tanα＝－tanβ.
A．1
B．2
C．3
D．4
2.已知sin=，则cos的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
3.已知，则等于(
)。
A.
B.
C.
D.
已知a＝tan，b＝cos，c＝sinπ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
5．已知cos＝，则cos＋sin2的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
6.
化简：＝( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
7.
已知sin+2cos=0，则=(
)。
A.-3
B.3
C.-
D.
已知点在第三象限，则角θ所在的象限是(
)。
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89
B．90
C.
D．45
10.[2020·浙江高二开学考试]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后，过点，则cosα等于(
)。
A.-
B.
C.-
D.
11.
若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(
)。
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin
＝cos
[2020·安徽省泗县第一中学高三其他(理)]已知sinα=2sin，则=(
)。
A.1
B.2
C.3
D.4
填空题
1.下列三角函数；①sin，②cos，③sin，④cos，k∈Z，其中与sin的值相同的是________(填序号)．
2．已知cosα＝，则的值为________．
已知α是第二象限角，且cosα=-，则cos的值是
.
4．已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为________．
5.
已知cos=，则的值为
.
三、解答题
1．(1)求值sin2120°＋cos180°＋tan135°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
(2)已知tanα＝2，求＋sin2α－3sinα·cosα的值．
2．设函数f(x)＝asin(πx＋a)－bcos(πx－b)＋ctan(πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f(2
012)＝－1，求f(2
014)的值．
3.已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
已知，求
的值。
5.
已知sin
α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
6．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)．
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tanα.
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精品试卷·第
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特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α
cos(α＋2kπ)＝cos
α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
公式五
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
公式六
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
常用公式：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α；
小结：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式；
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”。
选择题
1.如果α，β满足α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ； ②sinα＝－sinβ；③cosα＝cosβ； ④tanα＝－tanβ.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】∵α＋β＝2π，∴α＝2π－β，∴sinα＝sin(2π－β)＝－sinβ，故①错，②正确；
cosα＝cos(2π－β)＝cosβ，故③正确；tanα＝tan(2π－β)＝－tanβ，故④正确．
2.已知sin=，则cos的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
【答案】D
【解析】因为sin=cosα=，所以cos=-cosα=-。故选D。
3.已知，则等于(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由。
已知a＝tan，b＝cos，c＝sinπ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
【答案】B
【解析】a＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝cos＝，
c＝sin＝sin＝－sin＝－.∵－＜－＜，∴c＜a＜b.
5．已知cos＝，则cos＋sin2的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
【答案】B
【解析】原式＝cos(2π－＋α)＋sin2＝cos＋sin2＝cos＋1－cos2
＝＋1－＝.
6.
化简：＝( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
【答案】A
【解析】原式＝＝
＝＝－1.
7.
已知sin+2cos=0，则=(
)。
A.-3
B.3
C.-
D.
【答案】D
【解析】∵sin+2cos=0，∴，。故选D。
已知点在第三象限，则角θ所在的象限是(
)。
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
∵sin(π＋θ)＝－sinθ，sin＝－cosθ，
∴点P(－sinθ，－cosθ)在第三象限，∴∴∴θ在第一象限．
计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89
B．90
C.
D．45
【答案】C
【解析】原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
10.[2020·浙江高二开学考试]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后，过点，则cosα等于(
)。
A.-
B.
C.-
D.
【答案】C
【解析】α的终边按顺时针方向旋转后，过点，
所以sin，即
sin。
11.
若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(
)。
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin
＝cos
【答案】D
【解析】 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C．
∴A，B都不正确．
同理，B＋C＝π－A，∴sin
＝sin＝cos
.故选D.
[2020·安徽省泗县第一中学高三其他(理)]已知sinα=2sin，则=(
)。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】由sinα=2sin，可得sinα=2cosα，即tanα=2，
又由，故选B。
填空题
1.下列三角函数；①sin，②cos，③sin，④cos，k∈Z，其中与sin的值相同的是________(填序号)．
【答案】②③
【解析】①sin＝sin＝－sin，②cos＝cos＝＝sin，
③sin＝sin，④cos＝cos＝≠sin.
2．已知cosα＝，则的值为________．
【答案】－
【解析】原式＝＝－cosα＝－.
已知α是第二象限角，且cosα=-，则cos的值是
.
【答案】
【解析】∵，∴cos。故答案为.
4．已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为________．
【答案】－
【解析】原式＝cos(180°－75°－α)－sin(15°－α)＝－cos(75°＋α)－cos[90°－(15°－α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－.
5.
已知cos=，则的值为
.
【答案】
【解析】由cos=得。
。
所以。
三、解答题
1．(1)求值sin2120°＋cos180°＋tan135°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
(2)已知tanα＝2，求＋sin2α－3sinα·cosα的值．
【答案】见解析
【解析】(1)原式＝－1－1－＋＝－.
(2)原式＝＋＝tanα＋，
因为tanα＝2，所以原式＝.
2．设函数f(x)＝asin(πx＋a)－bcos(πx－b)＋ctan(πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f(2
012)＝－1，求f(2
014)的值．
【答案】见解析
【解析】f(2
012)＝asin(2
012π＋a)－bcos(2
012π－b)＋ctan(2
012π＋c)＝asina－bcosb＋ctanc，
而f(2
014)＝asin(2
014π＋a)－bcos(2
014π－b)＋ctan(2
014π＋c)
＝asina－bcosb＋ctanc，所以f(2
014)＝f(2
012)＝－1.
3.已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
【答案】见解析
【解析】因为tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以tanα·＝×(3k2－13)＝1，可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，
又tanα＋＝－＝k，所以k＞0，故k＝，
所以tanα＋＝＋＝＝，
所以sinαcosα＝，
所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝.
因为cosα＋sinα＜0，所以cosα＋sinα＝－.
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cosα＋sinα＝－.
已知，求
的值。
【答案】
【解析】由，得
。
5.
已知sin
α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
【答案】见解析
【解析】∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，
又∵－1≤sin
α≤1，∴sin
α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos
α＝－＝－，tan
α＝.
∴原式＝＝.
6．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)．
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tanα.
【答案】见解析
【解析】(1)f(α)＝＝＝sinα.
(2)由sin＝－，得cosα＝－，
又α是第二象限角，所以sinα＝＝，
则tanα＝＝－.
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