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一、角的分类及加减运算
1.角的分类
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.角的加、减法
(1)两角相等：如果
(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
(3)角的减法
①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α.
②角的减法α-β=α+(-β).
二、象限角
1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
3.终边相同的角
(1)前提：α表示任意角。
(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
选择题
1．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】：－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，∴命题①②③④都是正确的，故选D.
2.与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【答案】C
【解析】∵－457°＝－2×360°＋263°，∴应选C.
3.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(
)。
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
【答案】C
【解析】若α是第一象限角，则90°-α位于第一象限，90°+α位于第二象限，180°+α位于第三象限，360°-α位于第四象限。故选C。
已知α是第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
【答案】D
【解析】由k·360°＋180°<α5.若角α和β的终边关于y轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝k·360°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
【答案】D
【解析】结合图形分析，知α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．
6.
终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
【答案】D
【解析】因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A，B.又C项中的角出现在第三象限，故选D.
7.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°}，则A∩B=(
)。
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C·{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
【答案】C
【解析】令k=-1，0，1，2，则A，B的公共元素有-126°，-36°，54°，144°。
8.若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C
B．A＝B∩C
C．A∪B＝C
D．A?B?C
【答案】D
【解析】∵90°∈C,90°?B,90°?A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°?A，∴选项B错误．故选D.
9.若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
【答案】C
【解析】由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．
10.集合M={}，P={，则M，P之间的关系为(
)。
A.M=P
B.MP
C.MP
D.MP=?
【答案】B
【解析】M={}={}，即45°的奇数倍。
P={={，即45°的整数倍，所以MP。
填空题
1.下列说法中，正确的是
(填序号)。
①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；
⑤角与-的终边关于x轴对称。
【答案】②⑤
【解析】终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的。
2.时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．
【答案】－480°
【解析】时针走过了1小时20分钟，则分针转了圈，又因为按顺时针方向旋转的角为负角，所以分针转过的角为－×360°＝－480°.
3.200°是第
象限角。
【答案】三
【解析】180°<200°<270°,第三象限角α的范围为k·360°+180°<α所以200°是第三象限角。
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=
。
【答案】-40°
【解析】∠AOC=60°+（-820°）=-760°，β=-（760°-720°）=-40°。
5.角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为________．
【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
【解析】角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角中最小正角为45°，因而角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
6.已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________.
【答案】－960°
【解析】∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜α＜－630°，
∴－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1
110°＜k·360°＜－750°.
当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
7.集合A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}，B={β|β=60°+k·720°，k∈Z}，C={γ|γ=60°+k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系是
。
【答案】AC。
【解析】集合A中的角表示所有与60°角终边相同的角，集合B中的角的终边也与60°角终边相同，但当集合A中k取偶数时，A=B。而集合C中当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，γ=240°+n·360°，n∈Z；当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，γ=240°+n·360°，n∈Z.所以集合C中的角不但表示所有与60°角终边相同的角，还含有所有与240°角终边相同的角，因此AC。
三、解答题
1.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
【答案】见解析
【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②得，α＝15°，β＝65°.
2.已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】见解析
【解析】
(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
3.如图所示，写出终边落在直线上的角的集合(0°到360°的角表示)。
【答案】
【解析】终边落在(x≥0)上的角的集合是终边落在(x>0)上的角的集合是所以终边在直线的角的集合是
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一、角的分类及加减运算
1.角的分类
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.角的加、减法
(1)两角相等：如果
(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
(3)角的减法
①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α.
②角的减法α-β=α+(-β).
二、象限角
1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
3.终边相同的角
(1)前提：α表示任意角。
(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
选择题
1．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2.与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
3.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(
)。
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
已知α是第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
5.若角α和β的终边关于y轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝k·360°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
6.
终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
7.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°}，则A∩B=(
)。
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C·{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
8.若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C
B．A＝B∩C
C．A∪B＝C
D．A?B?C
9.若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
10.集合M={}，P={，则M，P之间的关系为(
)。
A.M=P
B.MP
C.MP
D.MP=?
填空题
1.下列说法中，正确的是
(填序号)。
①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；
⑤角与-的终边关于x轴对称。
2.时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．
3.200°是第
象限角。
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=
。
5.角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为________．
6.已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________.
7.集合A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}，B={β|β=60°+k·720°，k∈Z}，C={γ|γ=60°+k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系是
。
三、解答题
1.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
2.已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
3.如图所示，写出终边落在直线上的角的集合(0°到360°的角表示)。
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