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选择题
1.（2020·全国专题练习）函数
的定义域是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使原函数有意义，则
，即
所以
解得：
所以，原函数的定义域为
故选D．
2．将函数y＝2sin(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意，知向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得函数为偶函数．当x＝时，
y＝sin＝cosx为偶函数，选B.
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】y＝cos＝sinx，x∈[0,2π]．由sinx＝，x∈[0,2π]得x＝或，选C.
[2020·辽宁沈阳·高一期中]下列函数中最小正周期为的是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A选项，令，则
，不满足，
所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；
对B选项，的最小正周期为：；
对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D故选C
5.函数的部分图像大致是图中的(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数的定义域是，
，
则函数是偶函数，其图像关于轴对称，排除选项C和D；
当时，，则，
此时，此时函数的图像位于轴的上方，排除选项B.故选A.
6．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
【答案】A
【解析】定义域为R，∴f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|.∴|a|＝0，∴a＝0.
函数y＝sin是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】y＝sin＝cos(2014x)，故该函数是偶函数，选B.
8.（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数的图像的一条对称轴是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.
9.
如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，∴2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ－(k∈Z)，由此易得|φ|min＝.
10.
[2020·辽宁沈河·沈阳二中其他(理)]如果函数得图象关于直线对称，那么取得最小值时的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
【答案】A
【解析】函数的图象关于直线对称，所以，
即取最小值时。
11.（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是(
)。
A．f(x)的一个周期为?2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=
D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
12.（2020·广东广州·期末）已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于，若x∈R.f(x)≤，则正数的最小值为(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意得，所以，所以，所以，
又对x∈R.f(x)≤，所以直线是函数的对称轴，
所以，，即，，又，所以时，取得最小值.故选：D.
填空题
函数y＝sinx的单调递增区间为________．
【答案】(k∈Z)
【解析】设u＝sinx，由复合函数的单调性知，求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
的大小关系是
．
【答案】
【解析】∵0<1<2<3<,而y=cosx在上单调递减，∴。
3.（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数的值域是
．
【答案】
【解析】,
设，，则，
当时，函数有最大值为；当时，函数有最小值为.
故函数值域为.故答案为：.
4.函数f(x)＝sinx＋2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的范围是________．
【答案】(1,3)
【解析】f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
分别画出f(x)及y＝k的图象(图略)，由图象可知1＜k＜3.
[2020·全国高考题]关于函数有如下四个命题，其中真命题为
．
①的图象关于y轴对称；②的图象关于原点对称；③的图象关于直线对称；④的最小值为2.
【答案】②③
【解析】对于命题①，所以的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，
，所以，的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则<0<2,命题④错误，故正确的为②③。
三、解答题
已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
【答案】见解析
【解析】由2kπ－≤ωx≤2kπ＋
(k∈Z)得．
∴f(x)的单调递增区间是．
据题意：．
从而有，解得.
故的取值范围是.
求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
【答案】见解析
【解析】．
∵，
∴当，即时，；
当，即时，．
综上，，此时的取值集合是；
，此时的取值集合是．
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，
f(x)＝sinx.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图．
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
若x∈，则π＋x∈，
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx，所以x∈[－π，0]，f(x)＝－sinx.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sinx≥，可得≤x≤，函数周期为π，
因此x的取值范围是kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
4.（2020·上海市南洋模范中学高一月考）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数
的值域.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
5.（2019·大名县第一中学月考）已知，若函数的最大值为0，最小值为，试求与的值，并分别求出使取得最大值和最小值时的值．
【答案】见解析
【解析】，
令,则,
所以,,
①若，即，
则当时，，
当时，，
联立
,消去得,
解得或(舍去),
∴．
②若，即，二次函数在上递减,
所以当时，，
当时，，
∴，（与讨论的范围矛盾,所以舍去）．
综上，，
所以当,因为,所以时，；
当,因为,所以时，．
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1.（2020·全国专题练习）函数
的定义域是(
)。
A．
B．
C．
D．
2．将函数y＝2sin(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
[2020·辽宁沈阳·高一期中]下列函数中最小正周期为的是(
)。
A．
B．
C．
D．
5.函数的部分图像大致是图中的(
)。
A．
B．
C．
D．
6．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
函数y＝sin是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
8.（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数的图像的一条对称轴是(
)。
A．
B．
C．
D．
9.
如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C.
D.
10.
[2020·辽宁沈河·沈阳二中其他(理)]如果函数得图象关于直线对称，那么取得最小值时的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
11.（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是(
)。
A．f(x)的一个周期为?2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=
D．f(x)在(,π)单调递减
12.（2020·广东广州·期末）已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于，若x∈R.f(x)≤，则正数的最小值为(
)。
A．
B．
C．
D．
填空题
函数y＝sinx的单调递增区间为________．
的大小关系是
．
（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数的值域是
．
函数f(x)＝sinx＋2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的范围是________．
[2020·全国高考题]关于函数有如下四个命题，其中真命题为
．
①的图象关于y轴对称；②的图象关于原点对称；③的图象关于直线对称；④的最小值为2.
三、解答题
已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，
f(x)＝sinx.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图．
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
4.（2020·上海市南洋模范中学高一月考）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数
的值域.
5.（2019·大名县第一中学月考）已知，若函数的最大值为0，最小值为，试求与的值，并分别求出使取得最大值和最小值时的值．
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