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函数的图象与性质见下表：
函数
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期性
π
奇偶性
奇函数
单调性
为增
对称
中心
对称轴
选择题
1．y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
[2020·全国高一课时练习]函数的单调递增区间为(
)。
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝3tan的一个对称中心是( )
A.
B.
C.
D．(0,0)
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π
B.
C.
D．与a的值有关
5．函数y＝cosx·|tanx|的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
[2020·六盘山高级中学高一期末]在下列函数中，同时满足以下三个条件得是(
)。
①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数。
A.
B.
C.
D.
下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
[2020·山东潍坊·高一期末]若函数的最小正周期为，则(
)。
A．
B．
C．
D．
9.若f(x)=tan，则(
)。
A.f(0)>f(-1)>f(1)
B.f(0)>f(1)>f(-1)
C.f(1)>f(0)>f(-1)
D.f(-1)>f(0)>f(1)
10.
(多选)[2020·陕西渭滨·高一期末]函数的一个对称中心是(
)。
A．
B．
C．
D．
11.（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（
）．
A．函数的周期是
B．函数的值域是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上递增
填空题
函数的值域为__________.
函数y＝|tanx|与直线y＝1相邻两个交点之间距离是__________.
3．已知函数y＝2tan(2x＋φ)是奇函数，则φ＝__________.
4.函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是__________．
满足tan≥－的x的集合是__________．
已知在区间上的最大值为，则
.
解答题
1．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
2．函数y＝tan(3x＋φ)图象的一个对称中心是，其中－＜φ＜，求φ的值．
3.已知-≤x≤，f(x)=tan2x+2tanx+2，求f(x)的最值及相应的x值.
4.[2020·全国高一课时练习]求函数的单调区间及最小正周期．
5.[202·陕西省商丹高新学校期中]已知，，其中.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数．
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函数的图象与性质见下表：
函数
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期性
π
奇偶性
奇函数
单调性
为增
对称
中心
对称轴
选择题
1．y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】y＝tanx的定义域为，由x＋≠kπ＋得x≠kπ＋(k∈Z)．
[2020·全国高一课时练习]函数的单调递增区间为(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据正切函数性质可知，当时，
函数单调递增，
即，故选：C.
3．函数y＝3tan的一个对称中心是( )
A.
B.
C.
D．(0,0)
【答案】C
【解析】由＋＝得x＝kπ－(k∈Z)．令k＝0得x＝－，故选C.
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π
B.
C.
D．与a的值有关
【答案】C
【解析】由正切曲线可知，两个相邻交点间相差一个周期即，故选C.
5．函数y＝cosx·|tanx|的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】当－＜x＜0时，y＝－sinx；当0＜x＜时，y＝sinx；x＝0时，y＝0.图象为C.
[2020·六盘山高级中学高一期末]在下列函数中，同时满足以下三个条件得是(
)。
①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对A，得周期为，不满足②，故排除A；对B，在上单调递减，且为偶函数，故排除B；对C，满足条件；对D，在上单调递减，且周期为，故排除D。
下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
【答案】D
【解析】y＝tan(－x)＝－tanx在上是减函数，只有图象d符合，即d对应③.
[2020·山东潍坊·高一期末]若函数的最小正周期为，则(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的最小正周期为，
可得，解得，即，
令，即，
当时，，即函数在上单调递增，
又由，
又由，所以.故选：C.
9.若f(x)=tan，则(
)。
A.f(0)>f(-1)>f(1)
B.f(0)>f(1)>f(-1)
C.f(1)>f(0)>f(-1)
D.f(-1)>f(0)>f(1)
【答案】A
【解析】f(x)=tan在上是增函数，f(1)=f(1-π)，
又-π<1-π<-1<0<，所以f(1-π)10.
(多选)[2020·陕西渭滨·高一期末]函数的一个对称中心是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为；；
；当时，
.
所以、是函数的对称中心.故选：AD
11.（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（
）．
A．函数的周期是
B．函数的值域是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上递增
【答案】ACD
【解析】A．∵，
∴，
∴是周期为的周期函数，A正确，
B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；
C．∵，
∴函数的图象关于直线对称，C正确；
D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．
填空题
函数的值域为__________.
【答案】
【解析】。
由得图象知的值域为。
函数y＝|tanx|与直线y＝1相邻两个交点之间距离是__________.
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期为，由可得
所以函数与直线相邻两个交点之间距离为函数的半个周期，即.
3．已知函数y＝2tan(2x＋φ)是奇函数，则φ＝__________.
【答案】(k∈Z)
【解析】∵函数为奇函数，故φ＝(k∈Z)．
4.函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是__________．
【答案】
【解析】由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan＝.
满足tan≥－的x的集合是__________．
【答案】{x|kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z}
【解析】由kπ－≤x＋＜＋kπ，k∈Z，解得kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z.
已知在区间上的最大值为，则
.
【答案】
【解析】因为
，又，所以，
所以，所以。
解答题
1．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
【答案】见解析.
【解析】由3x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
∴所求定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}，值域为R，
周期T＝，是非奇非偶函数，在区间(k∈Z)上是增函数．
2．函数y＝tan(3x＋φ)图象的一个对称中心是，其中－＜φ＜，求φ的值．
【答案】见解析.
【解析】y＝tanx的对称中心为，其中k∈Z，
故令3x＋φ＝，其中x＝，即φ＝－.
又－＜φ＜，所以当k＝1时，φ＝－；
当k＝2时，φ＝，即φ＝－或.
3.已知-≤x≤，f(x)=tan2x+2tanx+2，求f(x)的最值及相应的x值.
【答案】见解析.
【解析】因为-≤x≤，所以-≤tanx≤1，
f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1，
当tanx=-1即x=-时，f(x)有最小值1，当tanx=1即x=时，f(x)有最大值5.
4.[2020·全国高一课时练习]求函数的单调区间及最小正周期．
【答案】
，
【解析】因为，
又，，解得，，
所以的单调减区间为.
因为，所以.
5.[2020·陕西省商丹高新学校期中]已知，，其中.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数．
【答案】见解析.
【解析】（1）当时，
，
，
根据二次函数的性质可得：当时，
的最大值为；
（2）函数
图象的对称轴为，
∵在
上是单调函数，
∴或
，
即或
.
因此，角的取值范围是
.
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