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一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝sinx
【答案】C
【解析】由奇函数的定义可知，y＝sinx＋2不是奇函数，选C.
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
【答案】A
【解析】因为函数的周期为π，所以排除C、D.
又因为y＝cos＝－sin2x在上为增函数，
故B不符．只有函数y＝sin的周期为π，且在上为减函数，故选A.
3.函数y＝sin的一条对称轴为( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝π
D．x＝π
【答案】C
【解析】当x＝时，y＝sin＝sin＝1，选C.
4.（2020·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是(
)。
A．
B．
C．2π
D．5π
【答案】D
【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.
故选：D．
函数的图象的一条对称轴方程为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数，令，则，当k=1时，，故选B。
函数y＝3－sin2x－4cosx的最小值为( )
A．－2
B．－1
C．－6
D．－3
【答案】B
【解析】y＝3－sin2x－4cosx＝3－(1－cos2x)－4cosx＝cos2x－4cosx＋2＝(cosx－2)2－2.
∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝(1－2)2－2＝－1.
函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由五点作图知，解得，令，
故单调减区间为，故选D。
已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1,1]，则b-a的值不可能是( )
A.
B．π
C.
D．2π
【答案】A
【解析】由题意，b－a的最小值为－＝π，选A.
若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asinx的最大值为(
)。
A.2a+1
B.2a-1
C.-2a-1
D.a2
【答案】A
【解析】由0≤x≤2π,故sinx∈[-1,1].
令t=sinx,t∈[-1,1],则y=t2+2at=(t+a)2-a2,t∈[-1,1].
又a>1,所以-a<-1,所以y=t2+2at在[-1,1]上是增函数.
所以t=1时y取最大值1+2a.
10.
[2020·镇原中学高一期末]若点是函数的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(
)。
A.的最小正周期是
B.的值域为
C.的初相
D.在上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得，且函数的最小正周期为，故。又。
故函数的值域为[1,3]，初相为，故A、B、C不正确。
当时，，而函数上单调递增，所以在上单调递增，故D正确。
填空题
1.（2020·全国高一课时练习）求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域
．
【答案】
【解析】由题意，要使f(x)有意义，则，由，得，
由，得，所以或所以函数f(x)的定义域为
函数y＝2sin(ω＞0)的周期为，则ω的值为________．
【答案】6
【解析】由题意，得＝，ω＝6.
设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.
【答案】-9
【解析】令g(x)＝f(x)－1＝x3cosx，
∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3·cosx＝－g(x)，∴g(x)为定义在R上的奇函数．
又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10.
又g(－a)＝f(－a)＝－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
4.（2020·河南林州一中高一月考）函数的值域________．
【答案】
【解析】，
，
，故，故答案为：
5.
函数y＝2cosx＋1取最小值时，自变量x的取值的集合是________．
【答案】{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
【解析】函数y＝2cosx＋1取最小值，即y＝cosx取得最小值，x＝2kπ＋π，k∈Z.
6.已知是以为周期的偶函数，且当时，，则当时，_____________.
【答案】
【解析】当时，,
∵当时，，
∴.
又∵是以为周期的偶函数，∴，
∴当时，.
三、解答题
1.求下列函数的最值．
(1)y＝2－3.(2)y＝.
【答案】见解析
【解析】(1)因为－1≤cosx≤1，所以当cosx＝时，ymin＝－3；
当cosx＝－1时，ymax＝－.
(2)因为cosx∈[－1,1]，所以cos2x∈[0,1]．
当cosx＝0时，ymax＝－1；
当cosx＝1或cosx＝－1时，ymin＝.
2.求函数y＝2cos，x∈的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，所以－1≤2cos≤2，
当cos＝1，即x＝－时，ymax＝2，
当cos＝－，即x＝时，ymin＝－1.
3.
(1)求函数y＝1－sin2x的单调区间．
(2)函数y＝asinx＋b的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
即函数的单调递增区间是(k∈Z)；
同理可求得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)当a＞0时，sinx＝1时，y最大；
sinx＝－1时，y最小，有解得a＝4，b＝2.
当a＜0时，sinx＝－1时，y最大；
sinx＝1时，y最小，有解得a＝－4，b＝2.
综上，a＝4，b＝2或a＝－4，b＝2.
求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
【答案】见解析
【解析】．
∵，
∴当，即时，；
当，即时，．
综上，，此时的取值集合是；
，此时的取值集合是．
5.（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
【答案】见解析
【解析】(1)在上的增区间满足:,,
∴,解得:,,
所以单调递增区间为,,
单调递增区间为,.
(2)，
令：,，解得：,，
函数取得最大值的集合为:.
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一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝sinx
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
3.函数y＝sin的一条对称轴为( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝π
D．x＝π
4.（2020·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是(
)。
A．
B．
C．2π
D．5π
函数的图象的一条对称轴方程为(
)。
A.
B.
C.
D.
函数y＝3－sin2x－4cosx的最小值为( )
A．－2
B．－1
C．－6
D．－3
函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1,1]，则b-a的值不可能是( )
A.
B．π
C.
D．2π
若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asinx的最大值为(
)。
A.2a+1
B.2a-1
C.-2a-1
D.a2
10.
[2020·镇原中学高一期末]若点是函数的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(
)。
A.的最小正周期是
B.的值域为
C.的初相
D.在上单调递增
填空题
1.（2020·全国高一课时练习）求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域
．
函数y＝2sin(ω＞0)的周期为，则ω的值为________．
设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.
4.（2020·河南林州一中高一月考）函数的值域________．
5.
函数y＝2cosx＋1取最小值时，自变量x的取值的集合是________．
6.已知是以为周期的偶函数，且当时，，则当时，_____________.
三、解答题
1.求下列函数的最值．
(1)y＝2－3.
(2)y＝.
2.求函数y＝2cos，x∈的最大值和最小值．
3.
(1)求函数y＝1－sin2x的单调区间．
(2)函数y＝asinx＋b的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
5.（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
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