2020-2021学年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷(word版 含解析)

2020-2021学年苏科新版八年级上册数学《第3章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，且DF⊥BC连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（　　）
A．2
B．3
C．4.8
D．4
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　）
A．45
B．36
C．25
D．18
4．如图，等腰直角△ABC中，点D在斜边AC上，且CD＝CB，角平分线AH交BD于点E，EF⊥AB于点F，若EF＝1，则BH的长为（　　）
A．
B．3
C．2
D．2
5．下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②5、12、13；③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；其中可以构成直角三角形的有（　　）
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
6．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．7，12，13
B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5
D．18，24，30
7．有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（　　）
A．8cm
B．12cm
C．18cm
D．20cm
8．疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形
草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．如图，直线AB∥CD，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上，顶点E放在直线AB上，若∠2＝17°，则∠1的度数为（　　）
A．45°
B．28°
C．25°
D．30°
10．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连结AC、FN，分别交EF、GH于点M，N．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，与∠1相等的角是　
　．
12．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点，若AE＝1，ED＝3，则BC＝　
　．
13．已知直角三角形ABC中，∠A＝（2x﹣10）°，∠B＝（3x）°，则x＝　
　．
14．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了　
　m．
15．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数：　
　．
16．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？若设AC＝x尺，则可列方程为　
　．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为　
　．
18．在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝BF，则∠BAF的度数为　
　．
19．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点
A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是　
　．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC2＝　
　．
三．解答题
21．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？
22．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
23．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝　
　．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．
24．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
　
　
8
　
　
勾股数组Ⅱ
35
　
　
　
　
25．已知：如图，四边形ABCD，∠A＝90°，AD＝12，AB＝16，CD＝15，BC＝25．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AF是等边△ACD的高，交BD于点E，连接CE．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求CE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
2．解：如图，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10，
∴AE＝CE＝＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝3．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDE＝90°，
∴由勾股定理，得CD＝＝＝4．
故选：D．
3．解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
225＝4×ab+9，
所以2ab＝216，
根据勾股定理，得a2+b2＝152，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，
因为a+b＞0，
所以a+b＝21，
所以21+15＝36．
所以一个直角三角形的周长是36．
故选：B．
4．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠C＝45°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ABD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠BAC＝22.5°，
即∠ABE＝∠BAE，
∴EA＝EB，
∴EF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴EF为△ABH的中位线，
∴BH＝2EF＝2×1＝2．
故选：D．
5．解：①92+122＝152，故可以构成直角三角形；
②52+122＝132，故可以构成直角三角形；
③322+422≠522，故不可以构成直角三角形；
④（3a）2+（4a）2＝（5a）2，故可以构成直角三角形；
故选：B．
6．解：A、72+122≠132，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、32+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、0.3、0.4、0.5不是正整数，则不是勾股数，故此选项不合题意；
D、182+242＝302，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：∵52+132＝，132﹣52＝122，
∴木条长度适合的是12cm，
故选：B．
8．解：由题意可知AB＝＝＝25m，
故居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31m
AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m
故在？的地方应该填写的数字为6，
故选：D．
9．解：∵AB∥CD，
∴∠DFE+∠FEB＝180°，
∴∠1+∠PFE+∠FEP+∠2＝180°，
∵∠PFE＝90°，∠FEP＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠2＝17°，
∴∠1＝28°，
故选：B．
10．解：∵S正方形ABCD＝21，
∴AB2＝21，
设DH＝x，
则AH＝3DH＝3x，
∴x2+9x2＝21，
∴x2＝，
根据题意可知：
AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，
∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，
∴S△FGN＝2S△CGN
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，
∴阴影部分的面积之和为：
S梯形NGFM＝（NG+FM）?FG
＝（EM+MF）?FG
＝FE?FG
＝×（2x）2
＝2x2
＝．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
故答案为：∠B．
12．证明：连接CD，
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝∠ACD＝45°，
∴CE＝DE，
∴DE＝AE+AC＝AE+BC．
∵AE＝1，ED＝3，
∴BC＝2，
故答案为2．
13．解：①若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，
∴2x﹣10+3x＝90，
解得x＝20，
此时∠A＝30°，∠B＝60°，符合题意；
②若∠A＝90°，则2x﹣10＝90，
解得x＝50，
此时∠B＝150°，不符合题意，舍去；
③若∠B＝90°，则3x＝90，
解得x＝30，
此时∠A＝50°，符合题意；
综上x＝20或30，
故答案为：20或30．
14．解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝2sin60°＝m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB＝2m，
则AE＝2sin45°＝m，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（﹣）m．
故答案为：（﹣）．
15．解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑧组勾股数是20，99，101．
故答案为：20，99，101．
16．解：∵设竹子折断处离地面AC＝x尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为BC＝3尺，则斜边为AB＝（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即x2+32＝（9﹣x）2，
故答案为：x2+32＝（9﹣x）2．
17．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：
ab＝×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故答案为：5．
18．解：分两种情况：
①当点F在点C的左边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，如图1所示：
∵l∥AB，
∴FH＝CG，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CG⊥AB，
∴AG＝BG，CG＝AB，
∵AB＝BF，
∴FH＝CG＝AB＝BF，∠BAF＝∠BFA，
∴∠ABF＝30°，
∴∠BAF＝（180°﹣30°）＝75°；
②当点F在点C的右边时，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，如图2所示：
同①得：∠FBH＝30°，
∵AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠FBH＝∠BAF+∠BFA，
∴∠BAF＝∠FBH＝15°；
综上所述，∠BAF的度数为75°或15°，
故答案为：75°或15°．
19．解：取格点M，连接BM，
∴BM∥AC，如图，连接DM，
由勾股定理得：DM＝，BM＝，BD＝，AC＝，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故答案为：45°．
20．解：∵以AC、AB为边向外作正方形，S1＝2，S2＝5，
∴AC2＝2，AB2＝5，
在Rt△ACB中，BC2＝AB2﹣AC2＝5﹣2＝3．
故答案是：3．
三．解答题
21．解：设BC为h米，
Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，
由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，
即（h+1）2＝h2+32，
解得：h＝4．
因此湖深BC为4米．
22．解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠CDE＝25°．
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
23．解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
24．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
25．解：（1）∵∠A＝90°，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴BD2＝122+162，
∴BD＝20；
（2）∵BD2+CD2＝202+152＝625，
CB2＝252＝625，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠CDB＝90°，
∴S四边形ABCD＝SRt△ABD+SRt△CBD，
＝
＝246．
26．解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE＝DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵∠BAD+∠DCB＝90°+90°＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，且直径是BD，E为圆心，
∴∠AEC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，
又∵F是AC中点，
∴EF＝AC＝×16＝8．
27．解：（1）∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60°，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°+60°＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣150°）＝15°．
（2）∵AF⊥CD，AC＝AD，
∴EC＝ED，
∵∠ADC＝60°，∠ADB＝15°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝CD＝．