人教版九年级数学上册 课件： 24.1.4 圆周角（44张）

(共44张PPT)
24.1.4
圆周角
第二十四章
圆
【学习目标】
1.理解圆周角的概念，
2.掌握圆周角的性质及推论。
3.灵活运用圆周角的性质进行证明与计算。
【课前预习】
1．在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（
）
A．30
?
B．60
?
C．30
?
或150
?
D．120
?或60?
2．如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于
A．35°
B．110°
C．145°
D．35°或145°
3．已知下列命题：
①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；②若a＞0，则=a；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（
）
A．50°
B．65°
C．65°或50°
D．115°或65°
5．已知点A（-4，0），B（2，0）．若点C在一次函数y=
x+2的图象上，且△ABC是直角三角形，则点C的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【课前预习】答案
1．C
2．D
3．D
4．D
5．B
问题1
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角,
∠BOC.
导入新课
问题2
如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
【学习探究】
一、旧知回放:
.
O
B
C
答：相等.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?
B
3、下列命题是真命题的是(
)
1)垂直弦的直径平分这条弦
2)相等的圆心角所对的弧相等
3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形
A
1)
2)
B
1)
3)
C
2)
3)
D
1)
2)
3)
课前热身
11、如图，⊙O中，∠AOB=100?，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。
A
O
B
?
n
100?
260?
√
×
×
×
×
2、判断题：
(1)相等的圆心角所对的弧相等
。
(2)等弦对等弧
。
(3)等弧对等弦
。
(4)长度相等的两条弧是等弧
。
(5)平分弦的直径垂直于弦
。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等
所对的弦的弦心距相等
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、
两条弧、
两条弦
中有一组量相等，
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
1.圆心角的定义?
.
O
B
C
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
复习
.
O
B
C
A
特征：
①
角的顶点在圆上.
②
角的两边都与圆相交.
圆周角定义:
顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
辩一辩
图中的∠CDE是圆周角吗?
C
D
E
C
D
E
C
D
E
C
D
E
圆周角：__________，并且的角______________。
圆心角:
___________
的角.
顶点在圆上
两边都和圆相交
顶点在圆心
?
?
√
如图所示的角，哪些是圆周角
?
?
√
练习：
1
、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
A
O
B
C
∠ACO
∠ACB
∠
BCO
∠OAB
∠BAC
∠OAC
∠ABO
∠CBO
∠ABC
有没有圆周角？
有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
它们都对着同一条弧
⌒
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。
问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有
什么关系？
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
探究一：
证明:(圆心在圆周角上)
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
O
B
A
2.当圆心在圆周角外部时
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴
∠ABC
=
∠AOC.
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
●O
D
A
B
C
3.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴
∠ABC
=
∠AOC.
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
●O
A
B
C
D
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
结论:
圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
B
C
O
如图，已知在⊙
O
中，∠BOC
=150°，求∠A
2、如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
练习：
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角X的度数
130°
A
O
.
X
120°
C
C
D
B
3、
如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
25?
做做看
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。
×
√
.
O
36?或144°
2
、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角
∠ACB=_____、∠ADB=______。
D
A
O
C
B
1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是
。
二、计算
130?
50?
C
B
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数
A
O
3.已知⊙O中弦AB的等于半径,求弦AB所对
的圆心角和圆周角的度数.
O
A
B
圆心角为60°
圆周角为30°
或150°.
1、已知∠AOB＝75°，
求：∠ACB=
。
2、已知∠AOB＝120°，
求：
∠ACB
=
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB
=
4、已知∠AOB＝110°，
求：∠ACB
=
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙
O的半径
∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
证明：
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
⌒
分析:AB所对圆周角是∠ACB,
圆心角是∠AOB.则
∠ACB=
∠AOB.
BC所对圆周角是∠
BAC
,
圆心角是∠BOC,
则∠
BAC=
∠BOC
⌒
∠ACB=
∠AOB
∠BAC=
∠BOC
圆周角:
∠ABC,
∠ADC,
∠AEC.
这三个角的大小有什么关系?.
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
●O
E
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB
观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O
位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB
和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（
∠ADB
和∠AEB
）和同学乙的视角相同吗？
探
究
试找出下图中所有相等的圆周角。
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
F
E
D
思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？
2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
推
论
1
4、如图，AB是⊙O的直径
=
，∠A=30°，则∠BOD=
。
5、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
60°
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
推论：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
探究二：
O
A
B
C
2.90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
推
论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是90°；
90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
推
论
3
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
例题:如图，AB为⊙O的直径，
∠A=70°，求∠ABC的度数。
A
B
C
O
解：
∵AB为⊙O的直径
∴∠C=90°，又∠A=70°
∴
∠B=20
°
AB是⊙O的直径,∠BCD=300,则∠ABD=__
O
D
C
A
B
300
例
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴
∠ACB=
∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题
练习
1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x—30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
2、如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，
求∠OBC的度数。
1.如图,
内接于?O,
,
,
BD是?O的直径,
BD交AC于点E,
连接DC,
则
（
）.
A.
B.
C.
D.
【课后练习】
1．下列说法中，正确的是（
）
A．直径所对的弧是半圆
B．相等的圆周角所对的弦相等
C．两个半圆是等弧
D．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
2．下列命题中，正确的有（
）
①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④相等的圆周角所对的弦相等；⑤在同圆中，相等的弦所对的弧相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知，AB为圆O的一条弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（
）
A．40°
B．140°
C．70°
D．40°或140°
4．下列命题中，真命题的是（
）
A．平分弦的直径垂直于弦；
B．任意三个点确定一个圆；
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．90°的圆周角所对的弦是直径；
5．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（
）
A．圆内接四边形对角互补
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．任意三点可以确定一个圆
6．直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为（
）
A．5
B．4
C．5或4
D．5或
7．已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（??
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．下列说法正确的是（
）
A．三点确定一个圆
B．正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形
C．等弧所对的圆周角相等
D．三角形的外心到三边的距离相等
9．下列说法正确的是（?????
）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
10．在⊙O中，同弦所对的圆周角(
)
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．都不对
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若角AOB=100°，∠ACB=______．
12．若一条弦分圆为1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______.
13．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是_______．
14．若⊙O的弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数是_________．
15．已知在半径为2的⊙O中，圆内接三角形△ABC的边AB＝2
,则∠C的度数为_____．
【课后练习】答案
1．A
2．B
3．D
4．D
5．A
6．C
7．C
8．C
9．D
10．C
11．50°或130°
12．36°或144°.
13．2，3，4
14．40°或140°
15．45°或135°