高中数学：1.3 反证法 学案 （北师大选修2-2）

1.3 反证法
教学过程：
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2. 了解反证法的思考过程、特点;
3. 会用反证法证明问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P52~ P54，找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ;
复习2： 是间接证明的一种基本方法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：反证法
问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗
问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装
新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .
试试：
证明：不可能成等差数列.
反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
※ 典型例题
例1 已知,证明的方程有且只有一个根.
变式：证明在中,若是直角,那么一定是锐角.
小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于.
小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
※ 动手试试
练1. 如果,那么.
练2. 的三边的倒数成等差数列,求证:.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于
B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于
D．假设三内角至多有两个大于
2. 实数不全为0等价于为（ ）.
A．均不为0
B．中至多有一个为0
C．中至少有一个为0
D．中至少有一个不为0
3.设都是正数，则三个数（ ）.
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
4. 用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为 .
5. “”是“”的 条件.
课后作业
1. 已知,且.试证:中至少有一个小于2.
2. 证明不是有理数.