第二十八章
锐角三角函数
28．1
锐角三角函数
第1课时
正弦函数
学习目标：
1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定
(即正弦值不变)．
2．能根据正弦概念正确进行计算．
重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定
(即正弦值不变)．
难点：能根据正弦概念正确进行计算．
【自主学习】
1、知识链接
1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c．
2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．
【合作探究】
1、要点探究
探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角
(∠A
)为
30°，为使出水口的高度为
35
m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为：如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A=30°，BC
=
35
m，求AB．
【方法归纳】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
思考1：Rt△ABC
中，如果∠C=90°，∠A
=
45°，那么
BC
与
AB
的比是一个定值吗？
【方法归纳】
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
思考2：
任意画
Rt△ABC
和
Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
【方法归纳】
这就是说，在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A
的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sin
A
，即
【典例精析】
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，求
sin
A
和sin
B
的值．
练一练
1．如图，判断对错：
2．在Rt
△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sin
A的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
例2
如图，在平面直角坐标系内有一点
P
(3，4)，连接
OP，求
OP
与
x
轴正方向所夹锐角
α
的正弦值．
【方法总结】
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解．
练一练
如图，已知点
P
的坐标是
(a，b)，则
sin
α
等于
(
)
A．
B．
C．
D．
探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，
，BC
=
3，求
sin
B
及
Rt△ABC
的面积．
提示：已知
sin
A
及∠A的对边
BC的长度，可以求出斜边
AB
的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出
sin
B及
Rt△ABC的面积．
练一练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin
A=，BC=6，则AB的长为
(
)
A.
4
B．6
C．8
D．10
2．在△ABC中，∠C=90°，如果
sin
A
=
，AB=6，
那么BC=
．
例4
在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24
cm，sin
A=，求这个三角形的周长．
【方法总结】
已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题．
二、课堂小结
【当堂检测】
1．在直角三角形
ABC
中，若三边长都扩大为原来的
2
倍，则锐角
A
的正弦值将(
)
A．
扩大为原来的2倍
B．不变
C．
缩小为原来的
D．
无法确定
2．如图，
在△ABC中，∠B=90°，则sin
A的值为
(
)
A．
B．
C．
D．
3．如图，在正方形网格中有
△ABC，则
sin∠ABC的值为
．
4．如图，点
D
(0，3)，O
(0，0)，C
(4，0)在
⊙A
上，BD是
⊙A
的一条弦，则
sin∠OBD
=______．
5．如图，在
△ABC
中，
AB
=
BC
=
5，sin
A
=，求△ABC
的面积．
6．
如图，在
△ABC
中，∠ACB=90°，CD⊥AB．
(1)
sin
B
可以由哪两条线段之比表示?
(2)
若
AC
=
5，CD
=
3，求
sin
B
的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：c=2．
2．解：c=．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值
合作探究
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得
AB
=
2BC
=2×35=70
(m)．也就是说，需要准备
70
m
长的水管．
思考1
解：因为∠A=45°，∠C=90°，
所以AC=BC．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，所以．因此
思考2
解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC
∽Rt△A'B'C'．所以，即．
典例精析
例1
解：如图①，在
Rt△ABC
中，由勾股定理得因此如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此
练一练
1．
√
×
×
√
√
2．
C
例2
解：如图，设点
A
(3，0)，连接
PA
，则PA⊥OA．在Rt△APO中，由勾股定理得因此
练一练
D
例3
解：∵∠C=90°，∴．∴
∴
AB
=
3BC
=3×3=9．∴∴∴
练一练
1．
D
2．
2
例4
解：由sin
A=，设BC=7x，则AB=25x．在
Rt△ABC中，由勾股定理得，即
24x
=
24，解得
x
=
1
cm．故
BC
=
7x
=
7
cm，AB
=
25x
=
25
cm．所以
△ABC
的周长为BC+AC+AB
=
7+24+25
=
56
(cm)．
当堂检测
1.
B
2．A
3．
4．
5．解：作BD⊥AC于点D，∵
sin
A
=，∴．∴又∵
AB=AC
，BD⊥AC，∴
AC=2AD=6．∴S△ABC=AC×BD÷2=12．
6．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC
=∠ACB
=
90°．∴∠ACD
=
∠B=90°-∠A．∴
（2）在Rt△ACD中，由
(1)知，
sin
A
=
（
）
sin
A
=
（
）
sin
B
=
（
）
sin
A
=
0．6
（
）
sin
B
=
0．8
（
）第二十八章
锐角三角函数
28.1
锐角三角函数
第3课时
特殊角的三角函数值
学习目标：
1.
运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
2.
熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
【自主学习】
1、知识链接
互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sin
A
cos
B，cos
A
sin
B，tan
A
·
tan
B
=
.
【合作探究】
1、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
【归纳总结】
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
三角函数
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
tan
α
1
【典例精析】
例1
求下列各式的值：
（1）cos260°+（sin60°）2；
（2）
提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).
练一练
计算：
(1)
sin30°+
cos45°；
(2)
（sin30°）2+
(cos30°)2－tan45°.
探究点2：通过三角函数值求角度
例2
(1)
如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AB
=，BC
=，求
∠A
的度数；
(2)
如图，AO
是圆锥的高，OB
是底面半径，AO
=OB，求
α
的度数.
练一练
求满足下列条件的锐角
α
.
(1)
2sin
α－=
0；
(2)
tan
α－1
=
0.
例3
已知
△ABC
中的
∠A
与
∠B
满足
(1－tan
A)2
＋|sin
B－|＝0，试判断
△ABC
的形状．
练一练
1.
已知，△ABC中的∠A和∠B满足|
tan
B－|
＋
(2
sin
A－)2
＝0，求∠A，∠B的度数.
2.
已知
α
为锐角，且
tan
α
是方程
x2
+
2x
－3
=
0
的一个根，求
2
sin2α
+
cos2α
－
tan
(α+15°)的值．
二、课堂小结
【当堂检测】
1.
tan
(α+20°)＝1，锐角
α
的度数应是
(
)
A.40°
B.30°
C.20°
D.
10°
2.
已知∠A为锐角，
sin
A
=，则下列正确的是
(
)
A.cos
A
=
B.cos
A
=
C.
tan
A
=1
D.tan
A
=
3.
在
△ABC
中，若，则∠C
=
.
4.
如图，以
O
为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA
交于点
B，再以
B
为圆心，BO
长为半径画弧，两弧交于点
C，画射线
OC，则
sin∠AOC
的值为_______.
5.求下列各式的值：
(1)
1－2
sin30°cos30°；
(2)
3tan30°－tan45°+2sin60°；
(3)
；
(4)
6.如图，在△ABC中，∠A=30°，
，求
AB的长度.
参考答案
自主学习
一、知识链接
=
=
1
课堂探究
一、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长
=
∴
∴
设含45°角的三角尺的两条直角边长为
a，则斜边长=
∴
【典例精析】
例1
解：（1）cos260°+（sin60°）2
（2）
练一练
解：（1）原式
=
（2）原式
=
探究点2：通过三角函数值求角度
例2
解：（1）在图中，∴∴∠A=45°.
（2）在图中，∵
tan
α
=∴
α
=
60°.
练一练
解：（1）sin
α
=，∴
α
=
60°.（2）tan
α
=1，∴
α
=
45°.
例3
解：∵
(1－tan
A)2
＋
|
sin
B－|＝0，∴
tan
A＝1，sin
B＝．
∴
∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴
△ABC
是锐角三角形．
练一练
1.解：∵|
tan
B－|
＋
(2
sin
A－)2
＝0，
∴
tan
B＝，sin
A＝，
∴
∠B＝60°，∠A＝60°.
2.
解：解方程
x2
+
2x
－
3
=
0，得
x1
=
1，x2
=
－3.
∵
α为锐角，tan
α
＞0，∴
tan
α
=1.∴
α
=
45°.
∴
2
sin2α
+
cos2α－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°tan60°
当堂检测
1.
D
2.B
3.120°
4.
5.解：(1)
(2)
(3)2
(4)
6.
解：过点
C
作
CD⊥AB
于点
D.∵∠A=30°，
，
∴∴
∴
AB
=
AD
+
BD
=
3
+
2
=
5.第二十八章
锐角三角函数
28．1
锐角三角函数
第2课时
余弦函数和正切函数
学习目标：
1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念．
2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
重点：1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念．
2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．
【自主学习】
1、知识链接
1.
在Rt△ABC中，b=，∠C=90°，∠A=30°，求c．
2.
在Rt△ABC中，b=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．
【合作探究】
1、要点探究
探究点1：余弦
合作探究
如图，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则成立吗？为什么？
【归纳总结】
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos
A，即
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos
α
=
sin
(90°－α)，
从而有sin
α
=
cos
(90°－α)．
练一练
1．在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos
A＝
．
2．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，
α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值．
探究点2：正切
合作探究
如图，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则成立吗？为什么？
【归纳总结】
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A
的正切，记作
tan
A，
即
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A
的三角函数．
想一想
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
练一练
1．
如图，在平面直角坐标系中，若点
P
坐标为
(3，4)，连接
OP，求则OP
与
x
轴正方向所夹锐角
α
的正弦值=______．
2．如图，△ABC中一边
BC
与以AC为直径的⊙O相切与C，若
BC=4，AB=5，则tanA=
．
【典例精析】
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin
A，cos
A，tan
A的值．
练一练
1．在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
12，AB
=13．
sin
A=______，cos
A=______，tan
A=____，
sin
B=______，cos
B=______，tan
B=____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3．
sin
A=_______，cos
A=_______，tan
A=_____，
sin
B=_______，cos
B=_______，tan
B=_____．
【方法总结】
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值．
例2
如图，在
Rt△ABC中，∠C
=
90°，BC
=
6，
sin
A
=，求
cos
A、tan
B
的值．
【方法总结】
在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其他的所有锐角三角函数值．
练一练
1．如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AC
=
8，tan
A=，
求sin
A，cos
A
的值．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin
A=，则下列结论正确的是
（
）
A．cos
A=
B．tan
A=
C．cos
A=
D．tan
A=
二、课堂小结
【当堂检测】
1．
如图，在
Rt△ABC
中，斜边
AB
的长为
m，∠A=35°，则直角边
BC
的长是
(
)
A.
B.
C.
D．
2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是
(
)
A．
tan70°＜cos70°＜sin70°
B．
cos70°＜tan70°＜sin70°
C．
sin70°＜cos70°＜tan70°
D．
cos70°＜sin70°＜tan70°
3．如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，cos
A
=，求
sin
A、tan
A
的值．
4．
如图，在
Rt△ABC
中，∠ACB
=
90°，CD⊥AB，垂足为
D．
若
AD
=
6，CD
=
8．
求
tan
B
的值．
5．
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6．
求cos
B
及tan
B
的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：c=2．
2．解：c=．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：余弦
合作探究
解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而
sin
B
=
sin
E，因此
练一练
1．
2．
解：
∵直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5，令斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为＜5x，∴sin
α=cos
α=
探究点2：正切
合作探究
解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴
Rt△ABC
∽
Rt△DEF．∴∴
想一想
解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数．
练一练
1．
2．
典例精析
例1
解：由勾股定理得因此
练一练
1．
2．
例2
解：在Rt△ABC中，∵∴
又∵∴
练一练
1．解：∵∴
∴∴
2．D
当堂检测
1．A
2．D
3．解：在Rt△ABC中，由设
AC
=
15k，则
AB
=
17k．
∴
∴
4．解：∵CD⊥AB，∴
∠ACB＝
∠ADC
=90°，∴∠B+
∠A=90°，
∠ACD+
∠A
=90°，∴∠B
=
∠ACD，∴
tan∠B
=
tan∠ACD
=
5．解：过点
A
作
AD⊥BC
于点
D．∵
AB
=
AC，
BC=6，∴
BD
=
CD
=
3，∴
在
Rt△ABD
中，∴
tan
B
=
