(共23张PPT)
第5章
二次函数
5.2
第2课时
二次函数y=ax2+k(a≠0),
y=a(x+h)2(a≠0)的图像和性质
知识回顾
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
最值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0
,0)
(0
,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2
(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的
开口就越小.
探究新知
函数y=x2+1的图像与函数y=x2的图像之间有什么关系？
首先画出函数y=x2+1的图像
（1）列表：
x
…..
-2
-1
0
1
2
......
y=x2
......
4
1
0
1
4
y=x2+1
......
......
5
2
1
2
5
1
-1
-2
2
3
-3
3
2
1
4
x
…..
-2
-1
0
1
2
......
y=x2
......
4
1
0
1
4
y=x2+1
......
......
5
5
2
1
2
5
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?
相同
函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.
1
-1
-2
2
3
-3
3
2
1
4
x
…..
-2
-1
0
1
2
......
y=x2
......
4
1
0
1
4
y=x2-2
......
......
5
2
-1
-2
-1
2
函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?
函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?
相同
函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
-1
-2
-3
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,从关系式上看有什么规律吗?
Y=ax2±k
上加下减
函数y=ax2
(a≠0)和函数y=ax2+k
(a≠0)的图象形状
，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
平移
个单位得到，当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
向
平移
个单位得到。
相同
上
k
下
|k|
总结
D
例题讲解
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
归纳总结
y=ax2+k
(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
极值
向上
向下
(0
,k)
(0
,k)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2
+k
(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.
1
-1
-2
2
3
-3
3
2
1
4
x
…..
-2
-1
0
1
2
......
y=x2
......
4
1
0
1
4
y=(x-1)2
......
......
5
9
4
1
0
1
函数y=(x-1)2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?
函数y=(x-1)2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?
相同
函数y=(x-1)2的图象可由y=x2的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到.
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
y
抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
X=-1
X=1
抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.
二次函数y=-3(x-1)2，y=-3(x+1)2和y=-3x2的图像
y=-3(x+1)2
你能说出y=-3(x-1)2
和y=-3(x+1)2的增减
性吗？
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了
个单位(当h>0时,向右移
个单位;当h<0时,向左移
个单位)得到的.
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移规律
总结
当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=a(x-h)2的性质
例2
填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是
，开
口
，对称轴是
，当x=
时，y有最_____
值，是
.
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y=
-3x2
向
平移
个单位得到的；开口
，对称轴是
，当x=
时，y有最
值，是
.
抛物线
向上
x=
-5
-5
小
0
右
4
向下
直线x=
4
4
大
0
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数
的图像，其对称轴是
，顶点是
，当x
时，y随x的增大而增大；当x
时，y随x的增大而减小.
（4）将二次函数y=
-3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数
的图像，其顶点坐标是
，对称轴是
，当x=
时，y有最
值，是
.
y=2（x-3）2
x=3
（3，0）
＞3
＜3
y=
-3（x+1）2
（-1，0）
x=-1
-1
大
0
归纳总结
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x+h)2
(a>0)
y=a(x+h)2
(a<0)
（-h，0）
（-h，0）
直线x=-h
直线x=-h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=-h时,最小值为0.
当x=-h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增
大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
(0,4)
直线x=-2
-2
(-2,0)
0
小
y轴
0
大
4
<-2
随堂演练
左
y=-2x2+4
1
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2的图象及性质
图象性质
对称轴是x=h;
顶点坐标是（h,0)；
a的符号决定开口及增减性.
左右平移
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
二次函数ax2+k
(a≠0)的图象及性质
图象
性质
对称轴是y轴;
顶点坐标是（0,k)；
a的符号决定开口及增减性.
上下
平移
平移规律：
上加下减(共22张PPT)
5.2
第1课时
二次函y=ax2(a≠0)的图像和性质
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
知识回顾
2、反比例函数
0
x
y
y=ax2？
4
根据二次函数表达式y=x2，你能描述这个函数图像具有什么特征吗？
（1）当x=0时，y=_____.图像过___________.
（2）x的取值范围是________.图像______________.
（3）y的范围是____.图像_______________________.
（4）当x=-2时，y=___；当x=2时，y=___.
图像上的
点（-2，
）与点（2，
）的位置关系是_____________.
图像____________.
0
原点
一切实数
向左、右无限延伸
y≥0
向上无限延伸，且x轴下方没有图像
4
4
关于y轴对称
关于y轴对称
4
4
由数想形
5
用描点法画二次函数y=x2的图像
回顾一下描点法
画函数图像的步骤
列表、描点、连线
探究新知
6
x
y=x2
1.列表
如何选取自变量的值比较恰当呢?
9
4
1
0
1
4
9
…
…
…
…
0
-1
-2
-3
1
2
3
7
2.描点
3.连线
y=x2
连线时应注意什么呢？
8
用描点法画二次函数y=-x2的图像，并思考函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y=-x2
9
函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y=-x2
y=x2
二次函数y=x2、y=-x2
的图像都关于y轴对称
形状都是抛物线
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
10
例1在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像.
(1)y=2x2
(2)y=
x2
这两个函数图像有什么共同特征？
（1）
（2）
例题讲解
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点.
（3）
（4）
例2
在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像.
(3)y=－2x2
(4)y=－
x2
这两个函数图像有什么共同特征？
（3）
（4）
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点.
二次函数y=ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴
.
当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
总结
x
y
O
y=a
(a＞0)
x
y
O
y=a
(a＜0)
观察y=a
的图像，你还能发现什么？
a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升
a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降
如何用x,y的值的变化来描述图像的上升和下降呢？
当x<0时，y随着x的增大而减小。
当x=0时,
y的值最小，最小值是0.
当x>0时，y随着x的增大而增大;
二次函数y=ax2的性质:
总结
（1）a＞0，
当x<0时，y随着x的增大而增大。
当x=0时,
y的值最大，最大值是0.
当x>0时，y随着x的增大而减小;
（2）a＜0，
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
最值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0
,0)
(0
,0)
y轴
y轴
当x<0时，
y随着x的增大而减小。
当x>0时，
y随着x的增大而增大。
当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时，
y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2
(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口
就越小.
归纳总结
y轴
(0,0)
下
大
0
随堂演练
增大
y3
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结
