人教八上数学12.2.4直角三角形全等的判定.课件（45张ppt）

(共45张PPT)
学习目标
1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．
教学重点:理解，掌握三角形全等的条件HL
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．
3.提高应用数学的意识．
教学难点:应用HL解决有关问题
复
习：
1、判定两个三角形全等的条件有哪些？
边角边（SAS）
2、根据以上条件，对于直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足什么条件，这两个直角三角形就全等？
A
B
C
A`
B`
C`
直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC
边边边（SSS）
角角边（AAS）
角边角（ASA）
讨
论：
对于Rt△ABC中，∠B=∠B`=90°，还要满足什么条件，△ABC≌△A`B`C`？
A
B
C
A`
B`
C`
(1)
添加AB=A`B`，BC=B`C`，利用“SAS”可证明△ABC≌△A`B`C`。
(2)
添加AB=A`B`，∠A=∠A`，利用“ASA”可证明△ABC≌△A`B`C`。
(3)
添加∠A=∠A`，AC=A`C`
，利用“AAS”可证明△ABC≌△A`B`C`。
得出结论：
两直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(2)一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
(3)斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
┓
┓
如果添加AB=A`B`，AC=A`C`，能否证明
△ABC≌△A`B`C`？
A
B
C
A`
B`
C`
探
究：
M
N
●
●
画一个Rt△A`B`C`，使AB=A`B`，AC=A`C`，
1、画∠MB`N=90°；
2、在射线B`M上截取B`A`=BA；
3、以A`为圆心，AC长为半径画弧，交射线B`N于C`，
4、连接A`C`。
斜边、直角边(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判定公理：
有斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等.
条件1
条件2
前提
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
斜边、直角边(HL)
A
B
C
A`
B`
C`
在Rt△ABC和Rt△A`B`C`中
∴
Rt△ABC≌Rt△A`B`C（HL）
数学表达式：
{
Ac=A′c′
AB=A′B′
选择题
1.使两个直角三角形全等的条件是（
）
2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证
△ABC≌
△DEC,可以根据（
）
A
E
D
B
C
错了
不对
恭喜你,答对了
再试一下
（A）一个锐角对应相等
（B）两个锐角对应相等
（C）一条边对应相等
（D）斜边和一条直角边对应相等
（A）边边边公理
（
D
）边角边公理
（C）角边角公理
（
B
）斜边、直角边公理
错了
再试一下
不对
恭喜你,答对了
练
习：
1、下列所给的条件中不能判断两个直角三角形全等的是（
）
A、两条直角边对应相等
B、斜边和一条直角边对应相等
C、一个锐角和一边对应相等
D、一角和一边对应相等。
2、如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，则在下列条件中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF有（
）个
(1)
∠B=∠C
(2)AB∥CD
(3)BE＝CF
(4)AF＝DE
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
A
B
E
F
C
D
D
D
如图，
∠ACB
=∠ADB=90，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）
（4）
（
）
A
B
D
C
AD=BC
∠
DAB=
∠
CBA
BD=AC
∠
DBA=
∠
CAB
HL
HL
AAS
AAS
(1)如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌
Rt
△BAD
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
B
D
A
C
E
实际问题
数学问题
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
①ＡＣ＝ＢＣ
②ＣＤ＝ＣＥ
CD
与CE
相等吗？
证明：
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
AC=BC
DC=EC
∴Rt△ACD≌
Rt
△BCE（HL）
∴
DA=EB
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC
B
D
A
C
E
（全等三角形对应边相等）
（３）如图，AB=CD，AE
⊥BC，DF
⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
课本14页练习
∵ＣＥ=ＢF
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。
（３）如图，AB=CD，AE
⊥BC，DF
⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
课本103页练习
证明：∵
AE⊥BC，DF⊥BC
　　　∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF
　∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
　即ＣＦ=ＢＥ。　　
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中
ＣＥ＝ＢＦ
ＡＢ＝ＤＣ
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
　∴ＡＥ＝ＤＦ
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)：
；
(2)：
；
(3)：
；
(4)：
；
SSS
SAS
ASA
AAS
(5)：
；
HL
1、
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
问题
&
探索
?
A
B
C
D
E
F
1、
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
问题
&
探索
?
A
B
C
D
E
F
解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则
BC=EF,
AC=DF
.
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
又
∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
延伸
&
拓展
?
如图，E，F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点.
求证：MB=MD，ME=MF；
A
B
C
D
E
F
M
如图，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点.
当E、F两点移动至如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明.
延伸
拓展
D
A
B
C
E
F
M
已知：如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，求证：∠ACD=∠DBA
A
B
D
C
如图，AD、A`D`分别是△ABC和△A`B`C`中BC、B`C`边上的高，且AB=A`B`，AD=A`D`，若使△ABC≌△A`B`C`，请补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）______________________。
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
这节课你有那些收获?
已知：如图,在△ABC和△BAD中，AC⊥BC,
AD⊥BD,垂足分别为C,D,
BC=AD,
求证：AC=BD.
A
B
D
C
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法
我们已经学了哪些呢？
SSS
SAS
ASA
AAS
三边对应相等的两个三角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”）
D
E
F
A
B
C
“边角边”或“SAS”）
两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
A
B
C
D
“角边角”或“ASA”）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成
“角角边”或“AAS”）
如图，△ABC中，∠
C
=90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
C
B
A
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
AC
BC
AB
以上的四种判别三角形全等的
方法能不能用来判别Rt△全等呢？
思考：
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
情境问题1:
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
你能帮工作人员想个办法吗？
A
B
D
F
C
E
情境问题1:
∠B=∠F=Rt
∠
则利用
可判定全等；
①若测得AB=DF，∠A=∠D，
则利用
可判定全等；
A
SA
②若测得AB=DF，∠C=∠E，
A
AS
③若测得AC=DE，∠C=∠E，
则利用
可判定全等；
A
AS
④若测得AC=DE，∠A=∠D，
则利用
可判定全等；
A
AS
⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
则利用
可判定全等；
S
AS
A
B
D
F
C
E
情境问题2:
如果工作人员只带了一条皮尺，能完成这项任务吗？
A
B
D
F
C
E
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
情境问题2:
对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
F
C
E
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。
∟
B
C
A
B?
A?
按照下面的步骤画Rt△A?B?C?
⑴
作∠MC?N=90°;
⑵
在射线C?M上取段B?C?=BC;
⑶
以B?为圆心,AB为半径画弧，交
射线C?N于点A?;
⑷
连接A?B?.
∟
C?
M
N
请你动手画一画
再画一个Rt△A?B?C?，使得∠C?=
90°，
B?C?=BC，A?B?=
AB。
把你所画的三角形撕出来，与原三角形进行比较，看是否能重合？
亲
自
实
践
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A?B?C?，使得∠C?=
90°，
B?C?=BC，A?B?=
AB。
B?
A?
按照下面的步骤画一画
⑴
作∠MC?N=90°;
⑵
在射线C?M上取段B?C?=BC;
⑶
以B?为圆心,AB为半径画弧，交
射线C?N于点A?;
⑷
连接A?B?.
∟
C?
M
N
请你动手画一画
∟
B
?
C
?
A
?
∟
B
C
A
现象：
两个直角三角形能重合。
说明：
当一个直角三角形的一条直角边和
斜边确定后，
那么它的形状和大小
也被确定.
判定公理：
有斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等.
条件1
条件2
前提
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边”或“HL”
A
B=A?B?
A
C=
A?C?（
或BC=
B?C?）
∴Rt△ABC≌Rt△
A?B?C?(H
L)
直角三角形全等的判定方法：
证明：在Rt△ABC与Rt△
A?B?C?中
通过刚才的探索，发现工作人员的做法
是完全正确的。