吉林省东北师大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案解析

东北师大附中2020-2021学年高一年级数学学科试卷
上学期期中试卷
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知集合false，则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设false，则“false”是false的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．命题“false”的否定是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．设false，则的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．若false，使得false，则实数m的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．若函数false与false在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，再每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
10．下列函数中，在各自定义域内既为增函数又为奇函数的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设函数false，且false，下列说法正确的是（ ）
A．函数false有最小值0，无最大值
B．函数false与直线false的图像有两个不同的公共点
C．若false，则false
D．若false，则false的取值范围是false
12．已知函数false，下列说法正确的是（ ）
A．false
B．函数false的值域为false
C．函数false的单调递增区间为false
D．设false，若关于x的不等式false在R上恒成立，则a的取值范围是false
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．不等式false的解集是__________．
14．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________．
15．已知关于x的不等式为false．若false，则该不等式的解集是_______；若该不等式对任意的false均成立，则a的取值范围是_________．
16．古希腊数学家希波拉克底研究过右侧的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为false的斜边false，直角边false，false，若以false，false为直径的两个半圆的弧长总长度为false，则以斜边false为直径的半圆面积最小值为________．
四、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
17．（本小题满分8分）
已知集合false，false．
（1）当false时，求false；
（2）设命题false．命题false．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分8分）
（1）已知false，求函数false的最大值；
（2）已知x，y是正实数，且false，求false的最小值．
19．（本小题满分10分）
已知函数false是定义在false上的单调函数，且是奇函数．false．
（1）求false的解析式并判断false在false上的单调性（不需证明）；
（2）解关于t的不等式false．
20．（本小题满分10分）
心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同．上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定．设课上开始x分钟时，学生的接受能力为false（false值越大，表示接受能力越强），false与x的函数关系为：
false
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；
（3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即false）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直打达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由．
21．（本小题满分10分）
已知二次函数false满足false，且false．
（1）求false的解析式；
（2）设函数false，false，求false的最大值false，并求false的最小值．
22．（本小题10分）
若定义在R上的函数false满足：false，false，都有false成立，且当false时，false．
（1）求证：false为奇函数；
（2）求证：false为false上的增函数；
（3）若false，且false，false，false恒成立，求实数m的取值范围．
师大高一上期中考试
1．C 解析：false，false作交集可得false
2．D 解析：由题题意可知，满足条件的集合Q有false，false，false，false共4个．
3．B 解析：解不等式false，可得false，由题意可知“false”是“false”的不要不充分条仵．
4．B 解析：A项，false，false；false，false，定义域不同
B项，false，false，false，false，正确
C项false；false定义域不同
D项，false；false，函数不同
5．A 解析：根据题意可画出指数函数图像，易知false．
7．B 解析：false
false
其中false
false
若false，使false，false
8．C解析：false的对称轴为false，抛物线开口向下，则有falsefalsefalse，次指数函数在false上为减函数，false，可得false
综上false
9．BCD 解析：A项，若false时，false显然不成立
B项，false，则false正确
C项，若false，false可变形为false，false正确
D项，false为单调增函数，若false，则false正确
10．ACD 解析：A项，false是奇函数，满足false，且为增函数
B项，false图像关于原点对称，是奇函数，单子啊定义域内不是单调增函数
C项，false，在定义域内为增函数，且关于原点对称
D项，false，false
false成立，为奇函数．
设false
false
分子false
false，当false时，分子大于0
分母明显大于0，故false得证，false为增函数．
11．AC 解析：由题意画出false图像．
A项，当false时，false，无最大值
B项，与false只有一个公共点
C项，且false，且false可知，false在图像中如图false，且false，false，且false，则false，则false，false，false，false
易和false，false且falsefalse
则false可写为
false
false
false
false
∵false，false
∴false
12．ABD 解析：画出函数图像．
A项，false，false
B项，由图像易知，值域为false
C项，有图像易知，false区间内函数不单调
D项，false的斜率为false则增长速度小于false，即false时雨左支无交点成立，右支最低点为false，代入应使false，可得false
综上false
false
13．false 解析：当false即false时，
false
false
false
当false即false时
false
false
false
综上false
14．7 解析：false
false
当false时，false阴有最小值false．
15．false false 解析：当false时，false
false
令false，false
当false时，false，减函数，false上恒成立
当false时，false即可，即false
当false时，false即可，即false
综上false
16．false 解析：设false，false
由题意可列false
false
false
所求半圆面积false
17．（1）false
（2）false
解析：（1）集合false，当false时。false
false
false
（2）p是q的必要不充分条件，则B为A的真子集
false，false
false或false
解得false，false
18．（1）false （2）false
解析：（1）false，false，false，故对函数变形
false
false时等号成立．
即false时等号成立．
false最大值为false
（2）false
false
false
当false时取等号
19．（1）false，增
（2）false
解析：（1）false是奇函数，且false在定义域内
则有false，false，false
将false代入，false，false，false
false，false
经判断，false为增函数．
（2）false
false
可列false解得false
20．（1）10分钟 5分钟
（2）5分钟>20分钟>35分钟
（3）不能．
解析：（1）由题意可知，当false时，false
则开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟．
（2）false，false，false
则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟
（3）当false，false
解得false
当false时，false
false
故false分钟<12分钟
老师不能再所需接受能力和状态下讲完这个难题．
21．（1）false
（2）false最小值为false
解析：（1）设次为此函数为false
由题意：false
false
false，false
（2）false
false
对称轴为false，抛物线开口向上
当
false时，false时，false有最大值false
即false时，false最小值为false
当false时，false时，false有最大值，false
即false时，false无最小值
综上false
22．（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）false或false
解析：（1）false
false
false
false
false可得false为奇函数
（2）设false
false
false
false
false
∵false
∴false
当false时，false，则等式左边大于0
故false，增函数得证．
（3）false
false．
故false
false为增函数，可得
false
false
∵false恒成立
∴false
false
整理得false
false
false或false