5.4二次函数与一元二次方程
（1）-苏科版九年级数学下册
培优训练
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是_____
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝
．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_______
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是_________
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是
．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
9、如图，抛物线y=
-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5
D．x1＝﹣1，x2＝5
12、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为(
)
A．有两个交点
B．有一个交点
C．没有交点
D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（
）
A.
B.
C.或
D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≤－2
B．m≥－2
C．m≥0
D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A.
x1＝－3，x2＝－1
B.
x1＝1，x2＝3
C.
x1＝－1，x2＝3
D.
x1＝－3，x2＝1
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3
B．t＞﹣5
C．3＜t≤4
D．﹣5＜t≤4
18、如图，抛物线y＝x2－7x＋与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－＜m＜－
B．－＜m＜－
C．－＜m＜－
D．－＜m＜－
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝x－有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
5.4二次函数与一元二次方程
（1）-苏科版九年级数学下册
培优训练（答案）
一、填空题
1、二次函数的图象与轴交点的横坐标是__-3和___
2、抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m＝
．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个交点，
∴△＝82﹣4×2×m＝0，∴m＝8．
故答案为8．
3、抛物线y=2x2+4x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为____
解析：解答：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，∴b2-4ac=42-4×2×m=0；
∴m=2．
4、若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__且_____
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是___有两个相等的实数根___________．
6、如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
则方程ax2＝bx＋c的解是____________．
【答案】x1＝－2，x2＝1 [解析]
方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是
．
【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），
所以抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），
∵抛物线经过点（﹣3，0），∴＝﹣1，解得：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
8、抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），
则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
解析：解答：把点（1，0）代入抛物线y=x2-4x+m中，得m=3，
所以，原方程为y=x2-4x+3，
令y=0，解方程x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
9、如图，抛物线y=
-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
解析：解答：∵抛物线y=
-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2=
-m＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2，∴x1=2-x2，∴x=
-x1＜0，∴y＜0．
10、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0.
上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
【答案】②③④ [解析]
由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．
二、选择题
11、若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5
D．x1＝﹣1，x2＝5
【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．
∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．
将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．
12、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
【答案】A [解析]
∵抛物线y＝x2－x＋m－1与x轴有交点，
∴b2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(m－1)≥0，解得m≤5.
13、已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为(
A )
A．有两个交点
B．有一个交点
C．没有交点
D．不能确定
14、关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（
A
）
A.
B.
C.或
D.
15、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( B )
A．m≤－2
B．m≥－2
C．m≥0
D．m＞4
16、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A.
x1＝－3，x2＝－1
B.
x1＝1，x2＝3
C.
x1＝－1，x2＝3
D.
x1＝－3，x2＝1
【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.
当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，
当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，
∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.
17、如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t＜3
B．t＞﹣5
C．3＜t≤4
D．﹣5＜t≤4
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，
t的取值范围为﹣5≤t≤4．
故选：D．
18、如图，抛物线y＝x2－7x＋与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，
将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．－＜m＜－
B．－＜m＜－
C．－＜m＜－
D．－＜m＜－
【答案】C 【解析】
如图．∵抛物线y＝x2－7x＋与x轴交于点A，B，∴B(5，0)，A(9，0)．
∴抛物线C1向左平移4个单位长度得到C2，∴平移后抛物线的解析式为y＝(x－3)2－2.
当直线y＝x＋m过点B时，有2个交点，
∴0＝＋m，解得m＝－；
当直线y＝x＋m与抛物线C2只有一个公共点时，令x＋m＝(x－3)2－2，∴x2－7x＋5－2m＝
0，
∴Δ＝49－20＋8m＝0，∴m＝－，此时直线的解析式为y＝x－，它与x轴的交点为(，0)，在点A左侧，∴此时直线与C1，C2有2个交点，如图所示．∴当直线y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点时，－＜m＜－.
三、解答题
19、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
解：(1)证明：∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，
它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个交点，
所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点．
20、如图，已知y=-2x+3的图象与y=的图象交于A、B两点且与x轴，y轴分别交于D、C两点，O为坐标轴原点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求的值．
解：（1）∵
的图象与的图象交于、两点，
∴
解方程组，解得，??????
故点的坐标为，点的坐标为．
（2）作垂直与轴与点，垂直与轴与点?????????????????????????????????
将代入，得，
∴
点的坐标为
又∵
点的坐标为，点的坐标为
∴
，，
∴
故的值为．
21、已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；
若没有，请说明理由．
解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得解得
所以该抛物线的表达式为y＝3x2＋6x＋1.
(2)联立得消去y，得3x2＋6x＋1＝x＋1，即3x2＋5x＝0.
因为52－4×3×0＝25>0，所以抛物线y＝3x2＋6x＋1与直线y＝x＋1有两个交点．
22、已知抛物线l：y＝(x－h)2－4(h为常数)．
(1)如图(a)，当抛物线l恰好经过点P(1，－4)时，l与x轴从左到右的交点为A，B，与y轴交于点C.
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
③M是l上任意一点，过点M作ME⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
(2)设l与直线y＝x－有个交点的横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．
解：(1)①将P(1，－4)代入y＝(x－h)2－4，得(1－h)2－4＝－4，解得h＝1，
∴抛物线l的解析式为y＝(x－1)2－4，
∴抛物线l的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
②存在．
将x＝0代入y＝(x－1)2－4，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3.
∵S△ABD＝S△ABC，∴点D的纵坐标为3或－3.
当y＝－3时，(x－1)2－4＝－3，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(2，－3)．
当y＝3时，(x－1)2－4＝3，
解得x1＝1＋，x2＝1－，
∴点D的坐标为(1＋，3)或(1－，3)．
综上所述，在抛物线l上存在点D(与点C不重合)，使S△ABD＝S△ABC，
点D的坐标为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．
③如图(a)所示：∵∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°，∴四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF.
依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．
把y＝0代入抛物线的解析式，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，
∴OB＝OC.
又∵OD⊥BC，∴CD＝BD.
∴点D的坐标为(，－)．
将y＝－代入y＝(x－1)2－4，得(x－1)2－4＝－，
解得x1＝－＋1，x2＝＋1，
∴点M的坐标为(－＋1，－)或(＋1，－)．
(2)∵y＝(x－h)2－4，∴抛物线的顶点在直线y＝－4上．
对于直线y＝x－，当3≤x0≤5时，－3≤y0≤－，
即抛物线l与直线y＝x－在G(3，－3)，H(5，－)之间的一段有一个交点．
当抛物线经过点G时，(3－h)2－4＝－3，解得h＝2或h＝4.
当抛物线经过点H时，(5－h)2－4＝－，解得h＝5＋或h＝5－.
随h的逐渐增加，l的位置随之向右平移，如图(b)所示．
由函数图象可知：当2≤h≤5－或4≤h≤5＋时，抛物线l与直线在3≤x0≤5段有一个交点．5.4二次函数与一元二次方程
（2）-苏科版九年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解(
)
A.x2＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝0
2、小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据.根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在(
)
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2－2x－2
－2.75
－2
－0.75
1
3.25
A.1.5和2之间
B.2和2.5之间
C.2.5和3之间
D.3和3.5之间
3、下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，
则下列选项中正确的是(
)
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
A.1.6＜x1＜1.8
B．1.8＜x1＜2.0
C．2.0＜x1＜2.2
D．2.2＜x1＜2.4
4、根据关于x的二次函数y＝x2＋px＋q，可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
y
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝(
)
A.－1.6
B.3.2
C.4.4
D.以上都不对
6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(－1，－3.2)，部分图像如图5－4－7，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈( )
A．－1.3
B．－2.3
C．－0.3
D．－3.3
7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是( )
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
－5
1
3
1
…
A.抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝3时，y＞0
D．方程ax2＋bx＋c＝0的正根在2与3之间
8、方程的正根的个数为
9、一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根、一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
10、对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是( )
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x二、填空题
11、如图所示，方程的解可看成是二次函数
的图象与轴交点的横坐标，即就是方程的解．
12、小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根
为x1＝－4.5，则方程的另一个近似根为x2＝
(精确到0.1).
13、如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图像，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是___________________．(精确到0.1)
14、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是________．
15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
现给出下列说法：①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线；③当x＝2时，y＝3；
④方程ax2＋bx＋c＝－2的正根在3与4之间．其中正确的说法为________．(只需写出序号)
16、直线与抛物线的交点的个数是
17、根据下列表格中y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是_____________.
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.04
18、抛物线y＝2x2－3x＋1与x轴的交点坐标是___________
三、解答题
19、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1).
20、二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
1
2
3
1
1
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个
．
①
②
③
④
21、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根．
（2）写出不等式的解集．
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
22、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
5.4二次函数与一元二次方程
（2）-苏科版九年级数学下册
培优训练（答案）
一、选择题
1、根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解(A
)
A.x2＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝0
2、小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据.根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在(C
)
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2－2x－2
－2.75
－2
－0.75
1
3.25
A.1.5和2之间
B.2和2.5之间
C.2.5和3之间
D.3和3.5之间
3、下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，
则下列选项中正确的是( C
)
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
A.1.6＜x1＜1.8
B．1.8＜x1＜2.0
C．2.0＜x1＜2.2
D．2.2＜x1＜2.4
4、根据关于x的二次函数y＝x2＋px＋q，可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
y
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( C )
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
5、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝(C
)
A.－1.6
B.3.2
C.4.4
D.以上都不对
6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(－1，－3.2)，部分图像如图5－4－7，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈( )
A．－1.3
B．－2.3
C．－0.3
D．－3.3
[解析]
因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是x1≈1.3，所以另一根x2≈－3.3.故选D.
7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是( )
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
－5
1
3
1
…
A.抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝3时，y＞0
D．方程ax2＋bx＋c＝0的正根在2与3之间
[解析]
由表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数图象的对称轴是直线x＝1，
顶点坐标为(1，3)，
设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋3，将(0，1)代入，得1＝a(－1)2＋3，解得a＝－2，
∴y＝－2(x－1)2＋3.
∵a＜0，∴抛物线开口向上错误，故选项A错误；
∵y＝－2(x－1)2＋3＝－2x2＋4x＋1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)，故与y轴交于正半轴，故选项B错误；
∵当x＝3时，y＝－5＜0，故选项C错误；
∵方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＝16＋4×2×1＞0，此方程有两个不相等的实数根，
由表可知正根在2和3之间，故选项D正确．
故选D.
8、方程的正根的个数为
2个
9、一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根、一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
[解析]
设y1＝(x＋1)(x－3)，y2＝2x－5，画出草图(如下图)：二次函数与一次函数图像的交点所对应的横坐标即为方程的根．故选D.
10、对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是( C )
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x二、填空题
11、如图所示，方程的解可看成是二次函数
的图象与轴交点的横坐标，即就是方程的解．
12、小颖用几何画板软件探索方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根
为x1＝－4.5，则方程的另一个近似根为x2＝2.5
(精确到0.1).
13、如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图像，由图像可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能是______x1≈0.8，x2≈3.2(合理即可)_____________．(精确到0.1)
14、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是_答案不唯一，如－_______．
15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
现给出下列说法：①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线；③当x＝2时，y＝3；
④方程ax2＋bx＋c＝－2的正根在3与4之间．其中正确的说法为________．(只需写出序号)
[解析]①③④
∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，故①正确；
∵抛物线过点(0，1)和(3，1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝2时的函数值与当x＝1时的函数值相等，为3，故③正确；
∵当x＝－1时，y＝－3，∴当x＝4时，y＝－3，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为－2时，－1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2＋bx＋c＝－2的负根在－1与0之间，正根在3与4之间，故④正确．
16、直线与抛物线的交点的个数是
1个
17、根据下列表格中y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是___6.18x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.04
18、抛物线y＝2x2－3x＋1与x轴的交点坐标是_____(1,0)，(,0)______
三、解答题
19、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1).
解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标.
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示.
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间.
先求－1和0之间的根，
当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25；
因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根，
同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根.
20、二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
1
2
3
1
1
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个
．
①
②
③
④
答案：（1）向下，（1，2）；（2）③；
21、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根．
（2）写出不等式的解集．
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
答案:（1）或，（2），（3）（4）；
22、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
(1)因为x2＋4x－5＝0的两根是x1＝－5，x2＝1，
所以A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(1，0)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝－2.
依二次函数的图象与一元二次方程的解的关系，可设二次函数的表达式为y＝a(x2＋4x－5)(a＞0)，
则点C，D的坐标分别为C(0，－5a)，D(－2，－9a)，
从而可画出大致图象，如图，
所以S△ABC＝AB·OC＝15a.
设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得点E的坐标为(－2，－3a)，
所以S△ACD＝S△AED＋S△DEC＝(9a－3a)×3＋(9a－3a)×2＝15a.
所以S△ABC∶S△ACD的值为1.
(2)当∠ADC＝90°时，△ADC是直角三角形，依勾股定理得AC2＝AD2＋DC2.
因为AC2＝52＋(5a)2，AD2＝32＋(9a)2，DC2＝22＋(9a－5a)2，
所以52＋(5a)2＝32＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，
解得a＝±(负值不合题意，舍去)．
所以二次函数的表达式为y＝(x2＋4x－5)＝x2＋x－.
