苏科版九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程复习-巩固训练（word版含答案）

5.4二次函数与一元二次方程
-苏科版九年级数学下册
专题巩固训练
一、选择题
1、下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的部分x与y的对应值，
那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是(　　)
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
y
…
－0.03
－0.01
0.02
0.04
…
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
2、已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（
）
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜﹣2
3、若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
4、王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为(　　)
A．m1，m4
B．m2，m5
C．m3，m6
D．m4，m5
5、某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
﹣1
0
3
…
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　
）
A．
B．
C．
D．
6、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤5
B．m≥2
C．m<5
D．m>2
7、若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．m
D．m
8、若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图所示，则m的值是(　　)
A．－8
B．8
C．±8
D．6
9、如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（　
　）
A．4
个????B．3个???C．2个???D．1个
10、已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(　　)
A．－B．－C．－2＜m＜3
D．－6＜m＜－2
二、填空题
11、抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的交点坐标是________
和________
，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两
根是____________
，故抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交点的________
就是一元二次方程
x2＋2x－3＝0的两个根．
12、抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（3，0）两点，
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　
　
13、已知函数y＝－2x2＋4x＋b的部分图像如图所示，
则关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋b＝0的解为______________．
　14、如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，
则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．
15、不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，
你认为m的取值范围是________．
16、二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则ax2＋bx＋c＞0时，x的取值范围是_________________，ax2＋bx＋c＜－1时，x的取值范围是______________.
17、若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，
则a的值为_____
18、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx－m2(m＞0)与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足－＝，则m的值等于________．
三、解答题
19、如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)已知点C(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求△ABC的面积S.
20、如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图像与y轴交于点C，B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图像，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
21、已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．
(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴．
(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式．
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
22、对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为.
(1)求函数()的对折函数；
(2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值；
(3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.
23、已知：如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a＞0)与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为(1，0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式．
(2)若D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.4二次函数与一元二次方程
-苏科版九年级数学下册
专题巩固训练（答案）
一、选择题
1、下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的部分x与y的对应值，
那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是(　C　)
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
y
…
－0.03
－0.01
0.02
0.04
…
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
2、已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜﹣2
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，解得：．故选：C．
3、若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【答案】A　【解析】
∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴解得b＜1且b≠0.
4、王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3中的一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线m4，m5，m6中的一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2－6ax－3，则她所选择的x轴和y轴分别为(　　)
A．m1，m4
B．m2，m5
C．m3，m6
D．m4，m5
【答案】A　[解析]
∵y＝ax2－6ax－3＝a(x－3)2－3－9a，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴王芳选择的y轴为直线m4.
∵抛物线y＝ax2－6ax－3与y轴的交点为(0，－3)，
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴王芳选择的x轴为直线m1.
5、某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
﹣1
0
3
…
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　A
）
A．
B．
C．
D．
6、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图像与x轴有交点，则m的取值范围是(　　)
A．m≤5
B．m≥2
C．m<5
D．m>2
[解析]
∵二次函数的图像与x轴有交点，∴b2－4ac＝(－1)2－4×≥0，解得m≤5.故选A.
7、若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（
A
）
A．m＜2
B．m＞2
C．m
D．m
8、若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图像如图所示，则m的值是(　　)
A．－8
B．8
C．±8
D．6
[解析]
由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，∴b2－4ac＝m2－4×2×8＝0，解得m＝±8.
又∵对称轴为直线x＝－<0，∴m>0，∴m的值为8.故选B.
9、如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（　
C
　）
A．4
个????B．3个???C．2个???D．1个
10、已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是(　　)
A．－B．－C．－2＜m＜3
D．－6＜m＜－2
【答案】D　【解析】
如图，当y＝0时，－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，
则A(－2，0)，B(3，0)．
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝(x＋2)(x－3)，
即y＝x2－x－6(－2≤x≤3)．
当直线y＝－x＋m经过点A(－2，0)时，2＋m＝0，解得m＝－2；
当直线y＝－x＋m与抛物线y＝x2－x－6有唯一公共点时，方程x2－x－6＝－x＋m有两个相等的实数根，解得m＝－6.
所以当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围为－6＜m＜－2.
二、填空题
11、抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的交点坐标是________
和________
，一元二次方程x2＋2x－3＝0的两
根是____________
，故抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交点的________
就是一元二次方程
x2＋2x－3＝0的两个根．
答案：(－3，0)　(1，0)　x1＝－3，x2＝1　横坐标
12、抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（3，0）两点，
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　﹣4或3．
　
13、已知函数y＝－2x2＋4x＋b的部分图像如图所示，
则关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋b＝0的解为______________．
　[解析]
由图像可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵图像与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，
∴关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
14、如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，
则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是___x＜－1或x＞3
_____．
15、不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，
你认为m的取值范围是________．
[解析]
∵二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，a＝2＞0，
∴函数图像与x轴无交点，即b2－4ac＜0，∴36－8m＜0，解得m＞.
16、二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则ax2＋bx＋c＞0时，x的取值范围是_________________，ax2＋bx＋c＜－1时，x的取值范围是______________.
答案：x＞3或x＜－1，0＜x＜2
17、若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，
则a的值为_﹣2，2或
____
18、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx－m2(m＞0)与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足－＝，则m的值等于________．
[解析]
设方程x2＋mx－m2＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜x2，则x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝－m2＜0，
所以x1＜0，x2＞0，由－＝，可知OA＞OB，又m＞0，x1＋x2<0，
所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA＝|x1|＝－x1，OB＝x2，
所以＋＝，即＝，故＝，解得m＝2.
三、解答题
19、如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)已知点C(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求△ABC的面积S.
解：(1)∵y＝－x2＋3x＋4，
∴当y＝0时，－x2＋3x＋4＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，
∴A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5.
(2)∵点C(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，且m>0，解得m＝3，
∴C(3，4)．过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝4，
∴S＝AB·CH＝×5×4＝10.
20、如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图像与y轴交于点C，B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过该二次函数图像上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图像，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.
当x＝0时，y＝4－1＝3，故点C的坐标为(0，3)．
由于点C和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为(4，3)．
将A(1，0)，B(4，3)分别代入y＝kx＋b，
得解得
则一次函数的表达式为y＝x－1.
(2)∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，3)，
∴当kx＋b≥(x－2)2＋m时，1≤x≤4.
21、已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．
(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴．
(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式．
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
解：(1)当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9.令y＝0，可得(x－2)2－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(5，0)，对称轴为直线x＝2.
(2)①y＝ax2－4ax－5＝(x2－4x)a－5，
当x2－4x＝0，即x1＝0，x2＝4时，原抛物线无论a为何值一定过点(0，－5)和(4，－5)两个定点．
②将抛物线翻折后过点(0，－5)和(4，－5)，开口大小与原来抛物线的开口大小相同，开口方向与原来抛物线的开口方向相反，∴设C2的表达式为y＝－ax2＋bx＋c.
将(0，－5)和(4，－5)代入，得b＝4a，c＝－5，∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5.
(3)抛物线C2的表达式y＝－ax2＋4ax－5可化为y＝－a(x－2)2＋4a－5，
∴顶点的纵坐标为4a－5，∴|4a－5|＝2，
解得a＝或a＝.
22、对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数()的对折函数为.
(1)求函数()的对折函数；
(2)若点在函数()的对折函数的图象上，求的值；
(3)当函数()的对折函数与轴有不同的交点个数时，直接写出的取值范围.
(1)；
(2)或-6；
(3)n<-1时，与x轴有4个交点，n=-1时，与x轴有3个交点；
与x轴有2个交点；n=3时，与x轴有1个交点；
n>3时，与x轴无交点.
23、已知：如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a＞0)与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为(1，0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式．
(2)若D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点B的坐标为(1，0)，OC＝3OB，点C在y轴的负半轴上，∴C(0，－3)．
∵抛物线y＝ax2＋3ax＋c经过点B，C，∴解得
∴y＝x2＋x－3.
(2)∵y＝x2＋x－3，
令y＝0，则x2＋x－3＝0，解得x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)．
设D(m，m2＋m－3)，其中－4＜m＜0，
连接OD，
则S四边形ABCD＝S△AOD＋S△OCD＋S△BOC＝×4×(－m2－m＋3)＋×3×(－m)＋×3×1＝－m2－6m＋
＝－(m＋2)2＋，
∴当m＝－2时，S四边形ABCD有最大值，最大值为.
(3)存在．如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C(0，－3)，∴可设P1(x，－3)，
∴x2＋x－3＝－3，
解得x1＝0，x2＝－3，∴P1(－3，－3)；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，
当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形．
∵C(0，－3)，∴可设P(x′，3)，
∴x′2＋x′－3＝3，即x′2＋3x′－8＝0，
解得x′＝或x′＝，
此时存在点P2(，3)和P3(，3)符合题意．
综上所述，点P的坐标为(－3，－3)或或.