苏科版九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程复习-培优训练（word版含答案）

5.4二次函数与一元二次方程
-苏科版九年级数学下册
专题培优训练
一、选择题
1、二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点情况是(　　)
A．有一个交点
B．有两个交点
C．没有交点
D．无法确定
2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，
则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　
　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（　
　）
A．没有交点
B．一个交点
C．两个交点
D．不能确定
4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　)
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
5、若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（　
　）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．
6、根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是(
)
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（
）
A．0或4
B．或
C．1或5
D．无实根
8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0没有实数根．有下列结论，其中正确结论的个数是(
)
①b2－4ac＞0；②abc＜0；③n＞2.
A．
0
B．1
C．2
D．3
9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，
则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10、若实数，，，满足，且，抛物线与轴交于，，则线段的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
11、若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
二、填空题
12、若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为______________
13、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－3，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－3，x2＝1
14、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．
15、若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________
16、已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，
则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴是________．
17、如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______________________.
18、已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，
则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________.
三、解答题
19、如图所示，y1＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n的图象交于两点，根据图象信息回答下列问题：
(1)x为何值时，y1＜y2?
(2)x为何值时，y1＝y2?
(3)x为何值时，y1＞y2?
20、如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求直线AB对应的函数表达式．
21、已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该拋物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积.
22、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于
点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
5.4二次函数与一元二次方程
-苏科版九年级数学下册
专题培优训练（答案）
一、选择题
1、二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点情况是(　　)
A．有一个交点
B．有两个交点
C．没有交点
D．无法确定
[解析]
二次函数y＝x2－2x＋1，∵b2－4ac＝4－4＝0，∴二次函数图像与x轴的交点情况是有一个交点．
故选A.
2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，
则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　
B　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（　
C
　）
A．没有交点
B．一个交点
C．两个交点
D．不能确定
4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　)
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
[解析]
∵二次函数y＝x2－3x＋m的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴0＝12－3＋m，解得m＝2，
∴二次函数为y＝x2－3x＋2.令y＝0，则x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．故选B.
5、若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（　
C
　）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．
6、根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是(
C
)
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（
B
）
A．0或4
B．或
C．1或5
D．无实根
8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0没有实数根．有下列结论，其中正确结论的个数是(
D
)
①b2－4ac＞0；②abc＜0；③n＞2.
A．
0
B．1
C．2
D．3
9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，
则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（
B）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10、若实数，，，满足，且，抛物线与轴交于，，则线段的最大值是（
D
）
A．
B．
C．
D．
11、若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
[解析]
∵函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，∴(－2)2－4b＞0，解得b＜1，而b≠0，则b＜1且b≠0.故选A.
二、填空题
12、若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为___
(1，0)，(5，0)
___________
13、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－3，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－3，x2＝1
[解析]
C
∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，
∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个根为x＝－1.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
14、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_
2
____．
15、若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是__m＞9______
16、已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，
则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴是________．
[解析]
∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为1，－5，∴对称轴为直线x＝＝－2.
17、如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是_____x＜－1或x＞3___________________.
18、已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，
则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________.
[解析]
依题意得二次函数y＝－x2＋2x＋m的图像的对称轴为直线x＝1，
与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1－(3－1)＝－1，
∴另一个交点的坐标为(－1，0)，
∴当x＝－1或x＝3时，函数值y＝0，
即－x2＋2x＋m＝0，
∴关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
三、解答题
19、如图所示，y1＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n的图象交于两点，根据图象信息回答下列问题：
(1)x为何值时，y1＜y2?
(2)x为何值时，y1＝y2?
(3)x为何值时，y1＞y2?
解：(1)当－2＜x＜1时，y1＜y2　
(2)x＝－2或x＝1时，y1＝y2　
(3)当x＜－2或x＞1时，y1＞y2
20、如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求直线AB对应的函数表达式．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A.
∴一元二次方程ax2＋2ax＋1＝0的根的判别式等于0，即4a2－4a＝0，
解得a1＝0(舍去)，a2＝1，
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋2x＋1.
(2)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴顶点A的坐标为(－1，0)．
∵C是线段AB的中点，即点A与点B关于点C对称，∴点B的横坐标为1.
当x＝1时，y＝x2＋2x＋1＝1＋2＋1＝4，
∴点B的坐标为(1，4)．
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b.
把A(－1，0)，B(1，4)分别代入y＝kx＋b，得解得
∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x＋2.
21、已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该拋物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积.
解：(1)证明：令x2－4x＝kx＋1，则x2－(4＋k)x－1＝0.
∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，直线l与y轴交点为C(0，1).
由(1)知x1＋x2＝4＋k＝2，x1x2＝－1.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4＋4＝8，
|x1－x2|＝2.
∴S△OAB＝·OC·|x1－x2|＝×1×2＝.
22、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．
（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于
点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
（1）如图1，
∵⊙M与OP相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2
．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=
．
∴OK=
=3．
∴点P的坐标为（
，3）．
（2）如图2，
设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax
2
+6，
∵点P（
，3）在抛物线y=ax
2
+6上，
∴3a+6=3．
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为y=x
2
+6．
（3）当直线y=m与⊙M相切时，
则有
=2．
解得；m
1
=2，m
2
=6．
①m=2时，如图3，
则有OH=2．
当y=2时，解方程x
2
+6=2得：x=±2，
则点C（2，2），D（2，2），CD=4．
同理可得：AB=2
．
则S
梯形ABCD
=
（DC+AB）OH=
×（4+2
）×2=4+2
．
②m=6时，如图4，
此时点C、点D与点N重合．
S
△ABC
=
ABOC=
×2
×6=6
．
综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2
或6
．