人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
第二十四章
圆
24.1.2
垂直于弦的直径
【学习目标】
1．理解圆的对称性．
2．理解垂径定理及其推论．
3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．
【课前预习】
1．下列说法中正确的有（　　）
①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；
④平分弦的直线，必定过圆心；⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于(
)
A．2∶1
B．3∶2
C．2∶3
D．0
3．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（
）
A．（6，0）
B．（0，1）
C．（0，﹣8）
D．（6，0）或（0，0）
4．已知AB=10cm，
以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5cm的点共有(
?
?
).
A．无数个
B．1个
C．2个
D．4个
5．已知⊙O的半径为3.6
cm，线段OA=
cm，则点A与⊙O的位置关系是(
)
A．A点在圆外
B．A点在⊙O上
C．A点在⊙O内
D．不能确定
【课前预习】答案
1．B
2．D
3．D
4．C
5．C
问题
：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
【学习探究】
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
一、
实践探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
?
思
考
·
O
A
B
C
D
E
二、
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
证明：垂直于弦AB的直径CD所在的直线是⊙O的对称轴。把圆沿着直径CD折叠时，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别与BC、BD重合。因此
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直
径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB
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⌒
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
O
B
A
D
C
E
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
AE=BE,
由
CD是直径
CD⊥AB
可推得
AC=BC
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
垂径定理：
几何语言表述
AD=BD
⌒
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垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧.
例
如图所示，⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，
AM＝
BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，
∵OM：OC=3：5，
∴OM=
OC=3cm，
连接OA，∵AB⊥CD，
∴M为AB的中点，即AM=BM=
AB，
在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，
根据勾股定理得：AM=
则AB=2AM=8cm．
关于垂径定理及其推论可归纳为：
一条直线，它具备以下五个性质：
直线过圆心；
(2)直线垂直于弦；
(3)直线平分弦(不是直径)；
(4)
直线平分弦所对的优弧；
(5)直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，
组成的命题都是真命题．
归纳
垂径定理“知二得三”：
(1)
直径(过圆心)
；
(2)
垂直弦；
(3)
平分弦(不是直径)
；
(4)
平分优弧；
(5)
平分劣弧；
知二得三
练一练：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
解：连结OA。过O作OE⊥AB，
垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
.
A
E
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O
作弦AB
的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据前面的结论，D
是AB
的中点，C是AB的中点，CD
就是拱高．AB=48米，CD=16米
B
O
D
A
C
R
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
?
思
考
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
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⌒
三、
·
O
A
B
C
D
E
如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳
CD⊥AB,
由
CD是直径
AE=BE
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
几何语言表述
AC=BC
AD=BD
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如图，AB是⊙O的一条弦，
CD是直径，且AE=BE
OE=5，AB=24，求⊙O的半径
·
O
A
B
C
D
E
1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
课堂练习
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
4:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4
㎝，弦AC=
㎝
，
求圆O的半径。
　　
反思：在⊙
O中，若⊙
O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据　　　　定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
3：如图，圆O的弦AB＝8
㎝
，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
5:
如图，CD为圆O的直径，弦
　　
AB交CD于E，
∠
CEB=30°，
　　
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
6
已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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总结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
相信自己能独立完成解答.
船能过拱桥吗
解:如图,用
表示桥拱,
所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与
相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是
的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得
R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB
=
600mm，求油的最大深度.
B
A
O
600
?
650
D
C
课后小结
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d
+
h
=
r
⑵
课后小结
1.
垂径定理
2.
垂径定理的推论
3.
垂径定理的应用
【课后练习】
1．下列说法中错误的有（
）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列说法中，不正确的是（
）
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
3．下列命题中正确的是（??
）
A．圆只有一条对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．下列命题中，假命题是（
）
A．平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B．圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
5．在⊙Ｏ中，弦AB、CD互相垂直，且垂足E点将CD分为3cm和7cm的两段，那么圆心O到AB的距是（　　
）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
6．下列说法错误的是(
)
A．垂直于弦的直径平分弦
B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C．平分弦的直径平分弦所对的弧
D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
7．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（　　）
A．12cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
8．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为（　　）
A．2
B．5
C．2或8
D．4
9．下列命题中，不正确的命题是（
）
A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C．在⊙O中，AB、CD是弦，则ABCD
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径.
10．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（　　）
A．7cm
B．1cm
C．7cm或4cm
D．7cm或1cm
11．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为___________．
12．半径为6cm的圆中，有一条长4
cm的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm.
13．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为=_________
14．P是⊙O半径上一点，OP
=
5,
经过点P的最短的弦长为24,
则⊙O的半径为__________；
15．已知：⊙O的弦AB=24cm，OC⊥AB，垂足为C.
若OC=4
cm，则⊙O直径长为
________cm.
【课后练习】答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．B
6．C
7．B
8．C
9．C
10．D
11．7cm或1cm
12．4
13．
14．13；
15．16
cm