(共27张PPT)
28.2.3
解直角三角形的应用（3）
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》
1.正确理解方向角、坡度的概念.
2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
学习目标
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
解与方位角有关的问题
合作探究
例1
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80
n
mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01
n
mile）？
65°
34°
P
B
C
A
典例分析
解：如图
，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n
mile。
65°
34°
P
B
C
A
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的
最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
例2
如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
典例分析
又∵∠ABC
=∠DBF－∠DBA
=
90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴AF=AC
·
cos30°=6
(海里)，
6
≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：
≈1.732,
≈1.414)．
200km
及时训练
200km
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC
·
tan30°＋PC
·
tan45°＝200，
即
PC＋PC＝200，
解得
PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公
路不会穿越保护区．
C
解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
合作探究
α
l
h
i=
h
:
l
1.
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
α
.
2.
坡度
(或坡比)
坡度通常写成
1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度
(h)
和水平长度
(l)
的比叫做坡面的坡度
(或坡比)，记作i，
即
i
=
h
:
l
.
坡面
水平面
3.
坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
合作探究
1.
斜坡的坡度是
，则坡角α
=___度.
2.
斜坡的坡角是45°
，则坡比是
_____.
3.
斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1
:
1
及时训练
例3
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此
α≈26.57°.
从而
BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
典例分析
例4
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1)
斜坡CD的坡角α
(精确到
1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解：
斜坡CD的坡度i
=
tanα
=
1
:
2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α
为22°.
典例分析
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、
F，由题意可知BE=CF=23m,
EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2)
坝底AD与斜坡AB的长度
(精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
=69+6+57.5=132.5
(m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1
:
2，走
米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
A
C
B
D
30°
解：点B和点C的水平距离为
米.
及时训练
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是
(
)
A.
9m
B.
6m
C.
m
D.
m
A
C
B
B
课堂练习
2.
如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是
(
)
A.
10分钟
B.
15分钟
C.
20分钟
D.
25分钟
B
3.
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于
．
90°
4.
如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为
．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
33.5海里
5.
如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时
测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
答案：AE=
米.
＞800，
所以古建筑会遭到破坏.
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F。
由题意可知
DE＝CF＝4
(米)，CD＝EF＝12
(米)。
6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
(精确到0.1米，
，
).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
(米)
6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
(精确到0.1米，
，
).
在Rt△BCF中，同理可得
因此
AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93
(米)。
答：
路基下底的宽约为22.93米。
(米)
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)
课堂小结
谢谢聆听中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案
[28.2.4
解直角三角形的应用（3）]
学习目标
1.
正确理解方向角、坡度的概念.
(重点)
2.
能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
(难点)
合作探究
解与方位角有关的问题
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
如图所示：
典例分析
【例1】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80
n
mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01
n
mile）？
【例2】如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
【及时训练】
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732,
≈1.414)．
合作探究
解与坡度有关的问题
1.
坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
α
.
2.
坡度
(或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度
(h)
和水平长度
(l)
的比叫做坡面的坡度
(或坡比)，记作i，
即
i
=
h
:
l
.
坡度通常写成
1∶m的形式，如i=1∶6.
3.
坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.
【及时训练】
1.
斜坡的坡度是，则坡角α
=___度.
2.
斜坡的坡角是45°
，则坡比是
_____.
3.
斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
典例分析
【例3】如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
【例4】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1)斜坡CD的坡角α
(精确到
1°)；
(2)坝底AD与斜坡AB的长度
(精确到0.1m).
【及时训练】
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1
:
2，走米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
课堂练习
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是
(
)
A.
9m
B.
6m
C.
m
D.
m
2.
如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是
(
)
A.
10分钟
B.
15分钟
C.
20分钟
D.
25分钟
3.
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于
．
4.
如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为
．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
5.
如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时
测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
(精确到0.1米，，
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精品试卷·第
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