中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案
[28.1.2
余弦、正切]
学习目标
1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
(重点)
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
(难点)
新课导入
如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，当锐角
A
确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
合作探究
【思考】如图所示，△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则成立吗？为什么？
【归纳】
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即_________________.
【及时训练】
在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝________.
【归纳】
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos
α
=
sin
(90°－α),从而有sin
α
=
cos
(90°－α)
【及时训练】
1.
在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝
.
2.
求
cos30°，cos60°，cos45°的值．
【思考】如图所示，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则成立吗？为什么？
【归纳】
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A
的正切，记作
tanA，
即_______________.
【思考】如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
________________________________________________________________.
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A
的三角函数.
【及时训练】
如图，平面直角坐标系中，若点
P
坐标为
(3，4)，则
tan
∠POQ=____.
2.
如图，△ABC
中一边
BC
与以
AC
为直径的
⊙O相切与点
C，若
BC=4，AB=5，则
tanA=___.
典例分析
【例1】如图，在Rt△ABC
中,∠C=90°,AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
【点睛】在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
【及时训练】
1.
在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
12，AB
=13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，sinB=______，cosB=______，tanB=____.
2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____.
【例2】如图，在
Rt△ABC中，∠C
=
90°，BC
=
6，
sinA
=，求
cosA、tanB
的值.
【点睛】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.
【及时训练】
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AC
=
8，tanA=，
求sinA，cosB
的值.
课堂练习
1.如图，在
Rt△ABC
中，斜边
AB
的长为
m，∠A=35°,则直角边
BC
的长是
(
)
2.
随着锐角
α
的增大，cosα
的值
(
)
A.
增大
B.
减小
C.
不变
D.
不确定
3.
已知
∠A，∠B
为锐角，
(1)
若∠A
=∠B，则
cosA
cosB；
(2)
若
tanA
=
tanB，则∠A
∠B.
(3)
若
tanA
·
tanB
=
1，则
∠A
与
∠B
的关系为：_____________.
4.
tan30°=
，tan60°=
.
5.
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(
)
A.
tan70°＜cos70°＜sin70°
B.
cos70°＜tan70°＜sin70°
C.
sin70°＜cos70°＜tan70°
D.
cos70°＜sin70°＜tan70°
6.如图，在
Rt△ABC
中，∠ACB
=
90°，CD⊥AB，垂足为
D.
若
AD
=
6，CD
=
8.求
tanB
的值.
7.
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，cosA
=，求
sinA、tanA
的值．
8.
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.
求cosB
及tanB
的值.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
28.1.2
余弦、正切
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》
1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
学习目标
A
B
C
如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，当锐角
A
确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
新课导入
如图所示，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
证明：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴∠B=∠E，
从而
sinB
=
sinE，
因此
合作探究
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos
A
=
练习：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝13，
AC＝12，则cosA＝
.
合作探究
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cos
α
=
sin
(90°－α)
从而有
sin
α
=
cos
(90°－α)
1.
在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝
.
2.
求
cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：cos30°=
sin
(90°－30°)
=
sin60°
=
；
cos60°=
sin
(90°－60°)
=
sin30°=
cos45°=
sin
(90°－45°)
=
sin45°=
及时训练
如图所示，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
∴
Rt△ABC
∽
Rt△DEF
即
BC
·
DF
=
AC
·
EF
，
∠A=∠D
，∠C
=∠F
=
90°，
证明：∵
∴
∴
合作探究
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A
的正切，记作
tanA，
即
归纳：
∠A的对边
∠A的邻边
tan
A
=
A
B
C
邻边
对边
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A
的三角函数.
【思考】如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
合作探究
1.
如图，平面直角坐标系中，若点
P
坐标为
(3，4)，则
tan
∠POQ=____.
及时训练
2.
如图，△ABC
中一边
BC
与以
AC
为直径的
⊙O相切与点
C，若
BC=4，AB=5，则
tanA=___.
及时训练
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
典例分析
1.
在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
12，AB
=13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，
sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____.
及时训练
A
B
C
6
例2
如图，在
Rt△ABC中，∠C
=
90°，BC
=
6，
sinA
=
，求
cosA、tanB
的值.
解：∵
又
∴
在直角三角形中，如果已知一边长
及一个锐角的某个三角函数值，即可求
出其它的所有锐角三角函数值.
典例分析
A
B
C
8
解：∵
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AC
=
8，tanA=
，
求sinA，cosB
的值.
∴
∴
∴
及时训练
1.
如图，在
Rt△ABC
中，斜边
AB
的长为
m，∠A=35°，则直角边
BC
的长是
(
)
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
课堂练习
2.
随着锐角
α
的增大，cosα
的值
(
)
A.
增大
B.
减小
C.
不变
D.
不确定
B
当
0°＜α＜90°时，cosα
的值随着角度的增大
(或减小)
而减小
(或增大)
3.
已知
∠A，∠B
为锐角，
(1)
若∠A
=∠B，则
cosA
cosB；
(2)
若
tanA
=
tanB，则∠A
∠B.
(3)
若
tanA
·
tanB
=
1，则
∠A
与
∠B
的关系为：_____________.
=
=
4.
tan30°=
，tan60°=
.
∠A
+∠B
=
90°
5.
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是
(
)
A.
tan70°＜cos70°＜sin70°
B.
cos70°＜tan70°＜sin70°
C.
sin70°＜cos70°＜tan70°
D.
cos70°＜sin70°＜tan70°
【解析】根据锐角三角函数的概念，知
sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.
又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.
故选D.
D
6.如图，在
Rt△ABC
中，∠ACB
=
90°，CD⊥AB，垂足为
D.
若
AD
=
6，CD
=
8.求
tanB
的值.
解:
∵
∠ACB＝
∠ADC
=90°，
∴∠B+
∠A=90°，
∠ACD+
∠A
=90°，
∴∠B
=
∠ACD，
∴
tan∠B
=
tan∠ACD
=
7.
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，cosA
=
，求
sinA、tanA
的值．
解：
A
B
C
设
AC
=
15k，则
AB
=
17k.
∴
∴
8.
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.
求cosB
及tanB
的值.
解：过点
A
作
AD⊥BC
于
D.
∵
AB
=
AC，
∴
BD
=
CD
=
3，
在
Rt△ABD
中
∴
tanB
=
A
B
C
∴
D
【点睛】求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.
余弦函数和
正切函数
在直角三角形中，锐角
A
的邻边与斜边的比叫做角
A
的余弦
∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关
在直角三角形中，锐角
A
的对边与邻边的比叫做角
A
的正切
余弦
正切
性质
课堂小结
谢谢聆听
