中小学教育资源及组卷应用平台
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》导学案
[28.1.1
正弦]
学习目标
1.
理解并掌握锐角正弦的定义.
(重点)
2.
能根据正弦概念正确进行计算.
(难点)
新课导入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角
(∠A
)为
30°，为使出水口的高度为
35
m，需要准备多长的水管？
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
合作探究
【思考】如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A=30°，BC
=
35
m，求AB.
【归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于_______.
【思考】Rt△ABC
中，如果∠C=90°，∠A
=
45°，那么
BC
与
AB
的比是一个定值吗？
【归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于_______.
【思考】任意画
Rt△ABC
和
Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
【归纳】如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sin
A
即_______________.
典例分析
【例1】如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，求
sinA
和sinB
的值.
【及时训练】
1.判断对错
sinA=
(
)
;sinA
=
(
);
sinB
=
(
);sinA
=0.6
m
(
);sinB
=0.8
m
(
).
2.在
Rt△ABC中，锐角
A
的对边和斜边同时扩大
100
倍，sinA
的值
(
)
A.
扩大100倍
B.
缩小
C.
不变
D.
不能确定
【例2】如图，在平面直角坐标系内有一点
P
(3，4)，连接
OP，求
OP
与
x
轴正方向所夹锐角
α
的正弦值.
【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
【及时训练】
如图，已知点
P
的坐标是
(a，b)，则
sinα
等于
(
)
【例3】如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，，BC
=
3，求
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
【归纳】
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，sinA
=
k，sinB
=
h，AB
=
c，则BC=_____,AC=_______.
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，sinA
=
k，sinB
=
h，BC=a，则AB=_____,AC=_______.
【及时训练】
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长为
(
)
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
2.
在△ABC中，∠C=90°，如果
sinA
=，AB=6,那么BC=___.
【例4】在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．
课堂练习
1.
在直角三角形
ABC
中，若三边长都扩大
2
倍，则锐角
A
的正弦值
(
)
A.
扩大
2
倍
B.不变
C.
缩小
D.
无法确定
2.
如图，
sinA的值为
(
)
3.
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90
°,若
sinA
=，则∠A=
，
∠B=
.
4.
如图，在正方形网格中有
△ABC，则
sin∠ABC
的值为
.
5.
如图，点
D
(0，3),O
(0，0),C
(4，0)在
⊙A
上，BD是
⊙A
的一条弦，则
sin∠OBD
=_____.
6.在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．
7.如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA
=，求△ABC的面积.
8.如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，，BC
=
3，求
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
9.
如图，在
△ABC
中，∠ACB=90°，CD⊥AB.
(1)
sinB
可以由哪两条线段之比表示?
(2)
若
AC
=
5，CD
=
3，求
sinB
的值.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
28.1.1
正弦
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》
1.理解并掌握锐角正弦的定义.
2.能根据正弦概念正确进行计算.
学习目标
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌。先测得斜坡的坡角
(∠A
)为
30°，为使出水口的高度为
35
m，需要准备多长的水管？
30°
新课导入
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
30°
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A=30°，BC
=
35
m，求AB.
B
A
C
30°
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A=30°，BC
=
35
m，求AB.
B
A
C
30°
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”.
即
可得
AB
=
2BC
=70
(m).
也就是说，
需要准备
70
m
长的水管.
如果出水口的高度为50
m，那么需要准备多长的水管？
合作探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
.
归纳：
B
A
C
30°
合作探究
Rt△ABC
中，如果∠C=90°，∠A
=
45°，那么
BC
与
AB
的比是一个定值吗？
解：∵∠C=90°，∠A
=
45°
∴AC=BC
由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=2BC2
思考：
∴
因此
B
A
C
45°
合作探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
.
归纳：
当∠A
是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
B
A
C
45°
合作探究
任意画
Rt△ABC
和
Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
解：∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A’＝α，
∴Rt△ABC
∽Rt△A'B‘C’
这就是说，在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A
的对边与斜边的比也是一个固定值.
合作探究
如图，在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sin
A
即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳：
∠A的对边
斜边
sin
A
=
合作探究
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，求
sinA
和sinB
的值.
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
解：如图①，在
Rt△ABC
中，由勾股定理得
因此
如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
典例分析
sinA
=
(
)
sinA
=
(
)
1.
判断对错
A
10m
6m
B
C
√
×
sinB
=
(
)
×
sinA
=0.6
m
(
)
×
sinB
=0.8
m
(
)
√
及时训练
2.
在
Rt△ABC中，锐角
A
的对边和斜边同时扩大
100
倍，sinA
的值
(
)
A.
扩大100倍
B.
缩小
C.
不变
D.
不能确定
C
例2
如图，在平面直角坐标系内有一点
P
(3，4)，连接
OP，求
OP
与
x
轴正方向所夹锐角
α
的正弦值.
解：过点P作PA⊥x轴，P
(3，4)，
∴A
(3，0)
A
(0，3)
在△APO中，由勾股定理得
因此
α
【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
典例分析
如图，已知点
P
的坐标是
(a，b)，则
sinα
等于
(
)
O
x
y
P
(a，b)
α
A.
B.
C.
D.
D
及时训练
例3
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，
，BC
=
3，求
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
A
B
C
【分析】已知
sinA
及∠A的对边
BC
的长度，可以求出斜边
AB
的长.
然后再利用勾股定理，求出
BC
的长度，进而求出
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
典例分析
解：∵
∴
∴
AB
=
3BC
=3×3=9.
∴
∴
∴
A
B
C
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，sinA
=
k，sinB
=
h，AB
=
c，则
BC
=
ck，
AC
=
ch.
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，sinA
=
k，sinB
=
h，BC=a，则
AB
=
AC
=
总结提升
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，BC=6，则
AB
的长为
(
)
D
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
2.
在△ABC中，∠C=90°，如果
sinA
=
，AB=6，
那么BC=___.
2
及时训练
例4
在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=
，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在
Rt△ABC中，由勾股定理得
即
24x
=
24cm，解得
x
=
1
cm.
故
BC
=
7x
=
7
cm，AB
=
25x
=
25
cm.
所以
△ABC
的周长为AB+BC+AC
=
7+24+25
=
56
(cm).
【点睛】已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
典例分析
1.
在直角三角形
ABC
中，若三边长都扩大
2
倍，则锐角
A
的正弦值
(
)
A.
扩大
2
倍
B.不变
C.
缩小
D.
无法确定
B
2.
如图，
sinA的值为
(
)
7
A
C
B
3
30°
A.
B.
C.
D.
C
课堂练习
3.
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90
°
，若
sinA
=
，则∠A=
，
∠B=
.
45°
45°
4.
如图，在正方形网格中有
△ABC，则
sin∠ABC
的值为
.
解析：∵
AB＝
，BC＝
，AC
＝
，∴
AB2
＝
BC2＋AC2，∴
∠ACB＝90°，∴sin∠ABC
＝
5.
如图，点
D
(0，3)，O
(0，0)，C
(4，0)在
⊙A
上，BD是
⊙A
的一条弦，则
sin∠OBD
=______.
解析：连接
CD，可得出
∠OBD
=
∠OCD，根据点
D
(0，3)，C
(4，0)，得
OD
=
3，OC
=
4，由勾股定理得出
CD
=
5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD
即可．
O
x
y
A
C
B
D
6.在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=
，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在
Rt△ABC中，由勾股定理得
即
24x
=
24cm，解得
x
=
1
cm.
故
BC
=
7x
=
7
cm，AB
=
25x
=
25
cm.
所以
△ABC
的周长为
AB+BC+AC
=
7+24+25
=
56
(cm).
7.
如图，在
△ABC
中，
AB
=
BC
=
5，sinA
=
，求△ABC
的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
∵
sinA
=
，
∴
又∵
△ABC
为等腰△，BD⊥AC，∴
AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
8.如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，
，BC
=
3，求
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
A
B
C
解：∵
∴
∴
AB
=
3BC
=3×3=9
∴
∴
∴
9.
如图，在
△ABC
中，∠ACB=90°，CD⊥AB.
(1)
sinB
可以由哪两条线段之比表示?
A
C
B
D
解：∵
∠A
=∠A，∠ADC
=∠ACB
=
90°，
∴△ACD
∽△ABC，∴∠ACD
=
∠B，
∴
(2)
若
AC
=
5，CD
=
3，求
sinB
的值.
解：
由题
(1)知
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin
A
=
课堂小结
谢谢聆听
