正多边形和圆

(共33张PPT)
24.3 正多边形和圆
A
B
C
D
E
观察下列图形他们有什么特点？
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
三条边相等，三个角相等（60度）。
四条边相等，四个角相等（900）。
正三角形
正方形
一 .正多边形定义
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。
思考: 菱形是正多边形吗 矩形是正多边形呢
菱形, 矩形都不是正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
A
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
⌒
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
定理1：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等
的等腰三角形。
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
⌒
⌒
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切
线的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正多边形.
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
二. 正多边形有关的概念
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____
圆与________圆的圆心。
2. OB叫正△ABC的_____,
它是正△ABC的______圆
的半径。 　　　　　
3. OD叫作正△ABC______,
它是正△ABC的______
圆的半径。
A
B
C
　.O
D
外接
内切
半径
外接
边心距
内切
4. ∠BOC是正△ABC的________角;
中心
∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.
120
60
5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的____________
6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的___________
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的________，
它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角，
它的度数是________
D
E
A
B
C
.O
F
边心距
内切
中心
72度
9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______;
它的度数是_________;
11、你发现正六边形
ABCDEF的半径与边
长具有什么数量关系？
为什么？　
B
A
E
F
C
D
.O
∠AOB
60度
10、若正六边形的边长为1，那么正六边形的
中心角是______度，半径是______，边心距
是______ ，它的每一个内角是______．
60
1
120°
A
B
C
D
E
F
O
1.如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数
是
O
圆内接正六边形的边长与半径 。
相等
△ABO是正三角形
2、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ）
3、证明题。
求证：顺次连结正六边形
各边中点所得的多
边形是正六边形。
A
B
C
D
E
F
×
×
A
B
C
D
E
4.求证：正五边形的对角线相等。
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形，求证：DB=CE
回答：
1.正n边形的内角和是
一个内角的度数是
2.正n边形的一个中心角是
3.正n边形的一个外角是
正多边形的
中心角与外角度数相等
4、正多边形的中心角与外角的大小关系是________
相等
1.求出半径为４的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.
·
A
B
C
D
O
４
思考：
8cm
2.求半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比 。
2
2
2
思考：同一圆的内接正三角形，正方形，正六边形中，周长最大的是
正六边形
那么半径为n呢？
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC=
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
1.如果一个正多边形的每个外角都等于360，则这个正多边形的中心角等于 。
4.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200，其内切圆半径为 .
3.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形的外接圆面积S= .
正多边形的中心角与外角度数相等
2.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比
1:2
D
2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
O
A
B
C
D
O
O
O
A
B
C
D
E
F
M
N
A
B
C
M
M
M
N
N
N
3.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，求∠APB的度数。
A
B
C
D
E
P
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1
2
2
2
2
8
4
12
1.填表：
练习
1. 矩形是正多边形吗 菱形呢 正方形呢 为什么
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形 各角都相等的圆内接多边形呢 如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形.
多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
∴　多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
·
A1
A２
A３
A４
A５
A６
A７
An
O
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
·
A
B
C
D
O
E
3.求出半径为R的圆内接正方形的边长，边心距和面积.
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
四、正多边形的性质及对称性
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。
1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________
4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________．
五.拓展练习
6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是( )
A．正三角形 B、正方形
C．正六边形 D正十二边形
7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）
A、
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )
A、
六.画正多边形的方法
1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
(1) 正四、正八边形的尺规作图
(2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图
(3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标
志的外缘
停
(4)用量角器作五角星；
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
①各边相等
②各角相等
的多边形叫做正多边形。