《角的概念的推广》
题型一:角的概念
1.将射线绕端点按逆时针方向旋转所得的角为
2.把一条射线绕着端点按顺时针旋转所形成的角是
3.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.
题型二:终边相同的角
1.下列各角中,与角终边相同的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.与角终边相同的角是(
)
A.221°
B.
C.
D.
3.下列各组角中,终边相同的角是(
)
A.,
B.,
C.,
D.,
4.与角终边位置相同的角是(
)
A.240°
B.60°
C.150°
D.480°
5.与终边相同的角是
(
)
A.
B.
C.
D.
6.与405°角终边相同的角是(
).
A.
B.
C.
D.
7.与角的终边相同的角可以表示为(
)
A.
B.
C.
D.
8.在0°到360°范围内与角380°终边相同的角为________.
9.在-180°到360°范围内,与2000°角终边相同的角为____________.
10.与1991°终边相同的最小正角是______;最大负角是
11.若角,则与角具有相同终边的最小正角为______.
12.与终边相同的最小正角是__________.
13.设,若是与终边相同的最小正角,则_______.
14.有小于360°的正角,这个角的5倍角的终边与该角的终边重合,这个角的大小
是
15.若角与角的终边关于y轴对称,则必有(
)
A.
B.
C.
D.
16.若角与的终边关于轴对称,且,则所构成的集合为____
17.写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
18.已知角.
(1)把改写成的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求,使与终边相同,且.
19.在与角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)的角.
20.终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为(
)
A.
B.
C.
D.
21.如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线上;(2)终边落在直线上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
22.如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.
23.写出如图所示阴影部分(包括边界)的角的范围.
24.已知如图.
(1)写出终边落在射线、上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
题型三:象限角
1.若角满足,,则角的终边落在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.给出下列四个结论,其中正确的为
①角是第四象限角;②185角是第三象限角;③475角是第二象限角;④角是第一象限角.
3.已知,则的终边在第________象限
4.角是第_______象限角.
5.已知:①,②,③,④,其中是第一象限角的为_____
6.若,则与终边相同的角的集合是
它是第______象限角,其中最小正角是____________,最大负角是___________.
7.下列说法正确的个数为
①小于的角是锐角;
②钝角一定大于第一象限角;
③第二象限的角一定大于第一象限的角;④始边与终边重合的角为.
8.下列命题正确的是(
)
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边与始边都相同的两个角一定相等
C.小于的角是锐角
D.若,则是第三象限角
9.以下说法正确的是(
)
A.第一象限的角一定是锐角
B.相等的角,终边一定相同
C.第二象限角比第一象限角大
D.三角形的内角一定是第一或第二象限角
10.下列命题中正确的是(
).
A.终边与始边重合的角是零角
B.90°~180°间的角不一定是钝角
C.终边和始边都相同的两个角相等
D.第二象限的角大于第一象限的角
11.下列说法正确的是(
)
A.第一象限角一定小于;
B.终边在轴正半轴的角是零角
C.若(),则与终边相同;D.钝角一定是第二象限角
12.若为第一象限角,则为第_____角
13.若角为第二象限角,则角为
象限角
14.已知角是第三象限角,则为
象限角
15.若α是第四象限角,则180°+α一定是第
象限角
16.已知是锐角,那么2是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.小于的正角
D.第一象限或第二象限
17.若,则是第
象限角
18.若是第四象限角,则是第
象限角
19.已知是第二象限角,则所在的象限是
20.若角是第二象限角,试确定的终边所在位置.
21.若角是第一象限角,问角(1),(2),(3)各是第几象限角?
2
2《角的概念的推广》
姓名:___________班级:___________
题型一:角的概念
1.将射线绕端点按逆时针方向旋转所得的角为
【解析】按逆时针方向旋转形成的角是正角,所以射线绕端点按逆时针方向旋转所得的角为.
2.把一条射线绕着端点按顺时针旋转所形成的角是
【解析】一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是-240°.
3.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
【解析】将时针拨快20分钟,则分针顺时针转过,即转过的度数为
4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.
【解析】一个角为,其终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为:.
题型二:终边相同的角
1.下列各角中,与角终边相同的是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】与角终边相同的角的集合为,
取,可得.∴与角终边相同的是.故选:D
2.与角终边相同的角是(
)
A.221°
B.
C.
D.
【解析】余,故A正确,B、
C、
D中的角均不与角终边相同.故选:A.
3.下列各组角中,终边相同的角是(
)
A.,
B.,
C.,
D.,
【解析】,故A错误;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误;故选:C.
4.与角终边位置相同的角是(
)
A.240°
B.60°
C.150°
D.480°
【解析】与终边相同的角为:,当时,
故选:D
5.与终边相同的角是
(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】与终边相同的角是.
当1时,,故选D
6.与405°角终边相同的角是(
).
A.
B.
C.
D.
【解析】由于,故与405°终边相同的角应为.
故选:C
7.与角的终边相同的角可以表示为(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】,与终边相同
由此可得与角的终边相同的角可以表示为,故选:C
8.在0°到360°范围内与角380°终边相同的角为________.
【解析】与角380°终边相同的角为,
又在0°到360°,所以
9.在-180°到360°范围内,与2000°角终边相同的角为____________.
【解析】因为,故该角度的终边与的相同,又因为与角度相同.故答案为:.
10.与1991°终边相同的最小正角是______;最大负角是
【解析】因为
所以与1991°终边相同的最小正角为,最大负角是
11.若角,则与角具有相同终边的最小正角为______.
【解析】因为,所以与终边相同的角为.由题意可得时,最小正角是.
12.与终边相同的最小正角是__________.
【解析】,因此,与终边相同的最小正角为.
13.设,若是与终边相同的最小正角,则_______.
【解析】∵,是与终边相同的最小正角,
∴,解得.
14.有小于360°的正角,这个角的5倍角的终边与该角的终边重合,这个角的大小
是
【解析】设这个角为α,则5α=k?360°+α,k∈Z,α=k?90°,又∵0°<α<360°,
∴α=90°,180°或270°.
15.若角与角的终边关于y轴对称,则必有(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】角与角的终边关于y轴对称,
所以,
,
即,故选:D
16.若角与的终边关于轴对称,且,则所构成的集合为____
【解析】角与的终边关于轴对称,所以得到,,
所以,,因为,所以,
所以
17.写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
【解析】与α=-1
910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}.
∵-720°≤β<360°,即-720°≤k·360°-1
910°<360°(k∈Z),∴
(k∈Z),故取k=4,5,6.
k=4时,β=4×360°-1910°=-470°;
k=5时,β=5×360°-1910°=-110°;
k=6时,β=6×360°-1910°=250°.
18.已知角.
(1)把改写成的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求,使与终边相同,且.
【解析】(1)2020°除以360°,商为5,余数为220°,∴,
∴.又是第三象限角,∴为第三象限角.
(2)由(1)知,所以.
当时,,不满足题意;当时,,满足题意;
当时,,满足题意;当时,,满足题意;
当时,,不满足题意.综上,角的值为,220°,580°.
19.在与角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)的角.
【解析】因为,
所有与终边相同的角可表示为:
,
则,则;则,则,
令
得,,
从而,代入得.
20.终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】角的终边在第二象限的角平分线上,可表示为:,,
角的终边在第四象限的角平分线上,可表示为:
,.
故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时,可表示为:,.
故选:.
21.如图,分别写出适合下列条件的角的集合.
(1)终边落在射线上;(2)终边落在直线上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【解析】(1)终边落在射线上的角的集合为;
(2)终边落在直线上的角的集合为;
(3)终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为,
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为,
因此,终边落在阴影区域内的角的集合为
.
22.如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.
【解析】因为终边落在y轴上的角为,
终边落在虚线上的角为;
,
即终边在虚线上的角为,,
所以终边落在阴影部分的角为,
故答案为:
23.写出如图所示阴影部分(包括边界)的角的范围.
【解析】(1)因为与角终边相同的角可写成的形式,
与角终边相同的角可写成的形式,
所以图(1)阴影部分的角的范围可表示为;
(2)因为与角终边相同的角可写成的形式,
与角终边相同的角可写成的形式,
所以图(2)阴影部分的角的范围为.
24.已知如图.
(1)写出终边落在射线、上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在射线上的角的集合是,
终边落在射线上的角的集合;
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.
题型三:象限角
1.若角满足,,则角的终边落在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】角,,且,
所以角的终边落在第二象限.故选:B.
2.给出下列四个结论,其中正确的为
①角是第四象限角;②185角是第三象限角;③475角是第二象限角;④角是第一象限角.
【解析】终边位于第四象限
为第四象限角,①正确
终边位于第三象限
为第三象限角,②正确
,终边位于第二象限
为第二象限角,③正确
,终边位于第一象限
为第一象限角,③正确
本题正确的为:①②③③
3.已知,则的终边在第________象限
【解析】,
在第三象限,在第三象限.
4.角是第_______象限角.
【解析】因为,
所以与是终边相同的角,而位于第三象限,
所以角是第三象限角.
5.已知:①,②,③,④,其中是第一象限角的为_________(填序号).
【解析】因为,,,
.所以②,③,④是第一象限角,
故答案为:②③④
6.若,则与终边相同的角的集合是__________________.
它是第______象限角,其中最小正角是____________,最大负角是___________.
【解析】若与终边相同,则,
令,则,所以,
所以与终边相同的角的集合是;
由为第三象限角,可得也为第三象限角;
当时,取最小正角;
当时,取最大负角.
故答案为:;三;;.
7.下列说法正确的个数为
①小于的角是锐角;②钝角一定大于第一象限角;
③第二象限的角一定大于第一象限的角;④始边与终边重合的角为.
【解析】对①,小于的角不是锐角,如不是锐角,故①错;
对②,角是第一象限的角,大于任何钝角,故②错;
对③,第二象限角中的角小于第一象限角中的角,故③错;
对④,始边与终边重合的角的度数是,故④错.故为:0.
8.下列命题正确的是(
)
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边与始边都相同的两个角一定相等
C.小于的角是锐角
D.若,则是第三象限角
【解析】零角是指射线绕端点没有发生旋转所成的角,终边与始边重合的角可以是,,故A选项错误;
终边与始边都相同的两个角可以相等也可以不相等,例如终边相同但不相等,故B选项错误;
锐角是指的角,所以小于的角是锐角错误,故C选项错误;
时,终边落在第三象限,所以是第三象限角,故D选项正确.
故选:D
9.以下说法正确的是(
)
A.第一象限的角一定是锐角
B.相等的角,终边一定相同
C.第二象限角比第一象限角大
D.三角形的内角一定是第一或第二象限角
【解析】对于选项,第一象限的角不一定是锐角,如在第一象限,但是它不是锐角,所以该选项错误;
对于选项,相等的角,终边一定相同,是正确的,所以该选项正确;
对于选项,第二象限角不一定比第一象限角大,如在第二象限,在第一象限,但是,所以该选项错误;
对于选项,三角形的内角一定是第一或第二象限角不正确,因为三角形的内角也可能为,但是不属于第一或第二象限,它是轴线角,所以该选项错误.
故选:B.
10.下列命题中正确的是(
).
A.终边与始边重合的角是零角
B.90°~180°间的角不一定是钝角
C.终边和始边都相同的两个角相等
D.第二象限的角大于第一象限的角
【解析】终边与始边重合的角还有360°角,720°角等,故A错误;
90°~180°间的角包括90°角,故90°~180°间的角不一定是钝角,故B正确;
终边和始边都相同的两个角相差,故C错误;
120°角是第二象限角,它小于第一象限的角400°角,故D错误.
故选:B
11.下列说法正确的是(
)
A.第一象限角一定小于;
B.终边在轴正半轴的角是零角
C.若(),则与终边相同;D.钝角一定是第二象限角
【解析】A.第一象限角范围是,所以不一定小于90°.
A错误.
B.
终边在轴正半轴的角.不一定是零角
.
.所以B错误
C.若则.
则应与终边相同.
.所以C错误
D.因为钝角的取值范围为,所以钝角一定是第二象限角.
.所以D正确.
故答案为D.
12.若为第一象限角,则为第_____角
【解析】由题得,所以.
当是偶数时,在第一象限;当是奇数时,在第三象限.
所以在第一、三象限.
13.若角为第二象限角,则角为
象限角
【解析】因为角为第二象限角,
所以,
所以,
当时,,此时是第一象限角;
当时,,此时是第三象限角;
所以是第一或第三象限角,
14.已知角是第三象限角,则为
象限角
【解析】由题得,所以,
当时,终边落在第二象限,当时,终边落在第四象限,
当时,终边落在第二象限,当时,终边落在第四象限,
所以终边落在第二象限或第四象限.
15.若α是第四象限角,则180°+α一定是第
象限角
∵α是第四象限角,∴k·360°-90°<α∴k·360°+90°<180°+α∴180°+α在第二象限,
16.已知是锐角,那么2是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.小于的正角
D.第一象限或第二象限
【解析】是锐角,∴,∴是小于的正角
17.若,则是第
象限角
【解析】由题知,当时,
,在第三象限,
当时,,在第一象限,
综上,是第一或第三象限角.
18.若是第四象限角,则是第
象限角
【解析】由是第四象限角,则,
所以,所以是第三象限角.
19.已知是第二象限角,则所在的象限是
【解析】∵是第二象限角,∴,,
时,,在第一象限,
时,,在第二象限,
时,,在第四象限,
20.若角是第二象限角,试确定的终边所在位置.
【解析】∵角是第二象限角,∴
,
(1),
∴
角2α的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上.
(2),当时,
∴
,∴的终边在第一象限.
当时,∴,
∴的终边在第三象限.
综上所述,的终边在第一象限或第三象限.
21.若角是第一象限角,问角(1),(2),(3)各是第几象限角?
【解析】(1)∵是第一象限角,
∴(
);∴.
故是第一或第二象限角或是终边重合于轴的非负半轴的角.
(2)由(
)得.
①当为偶数时,令,
得,这表明是第一象限角.
②当为奇数时,令,
得,这表明是第三象限角.
综合①②知,是第一或第三象限角.
(3)由(
)得.
①当时,,这表明是第一象限角.
②当时,,这表明是第二象限角.
③当时,,这表明是第三象限角.
综合①②③知,是第一或第二或第三象限角.
2