24.2直角三角形的性质-华东师大版九年级数学上册课件（14张）

(共14张PPT)
24.2
直角三角形的性质
知识回顾
你知道我们学过了直角三角形
哪些性质？
（1）直角三角形的两个锐角_________.
互余
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.
等于
下面我们探索直角三角形的其他性质
知识探索
做一做
画一个Rt?ABC，并画出斜边AB的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系？
A
B
C
∟
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
是不是所有直角三角形都有这样结论？
?
A
B
C
∟
D
【证明】
思路引导：
中线辅助线作法：将中线延长一倍.
延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
E
∵
CD是斜边AB的中线，
∴
AD=BD.
又∵
DE=CD，
∴
ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90?，
∴
ACBE是矩形，
∴
CE=AB.
知识概括
知识点1
直角三角形性质3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
∟
D
符号表示
在Rt?ABC中，如果CD是斜边AB的中线，
那
么
?
?BCD为等腰三角形
?ACD为等腰三角形
例题解析
例1
如图，在Rt?ABC中，∠ACB=90?，CD是AB边上的中线.已知∠A=30?，求∠CDB的度数；
B
A
C
D
【解】
∟
∵
∠ACB=90?，
CD是AB边上的中线，
∴
DA=DC，
∴∠ACD=
∠A=30?.
∴∠CDB=∠ACD+
∠A=60?.
对应练习
?
【解】
由勾股定理，可得斜边长为：
所以，斜边上中线的长为：
2.如图，∠ABC=∠ADC=90?，E是AC的中点，则(
)
A.
∠1>∠2
B.
∠1=∠2
C.
∠1<∠2
D.
∠1与∠2
的大小关系不能确定
1
2
B
A
C
D
E
B
3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．
求证：EF⊥BD．
4．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点D在BC边上，且AD⊥AC，求证：CD＝2AB．
例2
?
B
A
C
∟
30?
D
【证明】
取AB的中点D,连结CD,
∵
∠ACB=90?，
?
直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半
∴∠B=60?，
∴?BCD是等边三角形
?
又∠A=30?，
知识概括
知识点2
直角三角形性质4
B
A
C
∟
30?
直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半.
这两个性质常用来进行直角三角形中线段和角度的计算和涉及线段倍分的证明.
如图，在?ABC中，AB=AC，AE⊥AB交BC于
点E，D是BE中点，连结AD.∠BAC=120?，AD=3cm，求BC的长.
∟
B
A
C
D
E
【解】
∵
∠BAC=120?，AB=AC，
∴
∠B=∠C=30?.
又∵
AE⊥AB，
D是BE中点，
∴
BD=DE=AD=3(
),
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴
AE=BD=DE=3(
),
直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半
∴
AE=AD=DE=3,
∴
?ADE为等边三角形,
∴
∠AED=60?.
又∵
∠C=30?,
∴
∠CAE=
∠C=30?.
∴
CE=AE=3.
∴BC=CE+DE+BD=9(cm).
本题可改为证明：BD=DE=CE
例3
对应练习
?
A
O
B
北
东
60?
D
【解】
过点A作AD⊥OB，则
∠AOD=______________.
∴
AD=____________(
).
直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半
∴
AD>20，
∴
该船没有触礁的危险.
2.(课本104页练习3)如图，自动扶梯AB的倾斜角为30?，大厅两层之间的距离BC为6米，你能算出自动扶梯AB的长吗？
A
B
C
30?
6
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：AE＝2CE．
知识小结
我们学习了直角三角形哪些性质？
性质1
直角三角形两个锐角互余
性质2
直角三角形的勾股定理
性质3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
性质4
直角三角形30?所对直角边等于斜边的一半