(共14张PPT)
汇英中学九年级数学教研组
学习目标
1、掌握两个直角三角形相似的判定方法；
2、灵活应用直角三角形相似的判定方法，解决有关计算和证明问题。
提问1：目前我们判定两个三角形相似的方法有哪些？
提问2：我们已经学过几种特殊的三角形？
提问3：有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？
提问4：一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的两条直角边对应成比例，这两个直角三角形是否相似？
提问5：如果把提问4中的条件改为一条斜边和一条直角边对应成比例呢？
判定直角三角形全等，除了应用一般的SAS，AAS，ASA，SSS以外，是否还有其他特殊的判定方法？
直角三角形相似的判定
判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（1）画图；
（2）参照图形写出已知；
（3）参照图形写出求证；
（4）写出证明过程。
B
A
C
C’
A’
B’
已知，在△ABC与△A’B’C’中，
∠C= ∠C’=900
求证： △ABC∽△A’B’C’
已知，在△ABC与△A’B’C’中，
∠C= ∠C’= 900,
求证： △ABC∽△A’B’C’。
B
A
C
C’
A’
B’
△ABC∽△A’B’C’
}
例一 求证：直角三角形斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
（1）画图；
（2）参照图形写出已知；
（3）参照图形写出求证；
（4）写出证明过程。
已知，在Rt△ABC中，
CD是斜边上的高线
求证： △CBD∽△ACD ∽ △ABC
已知，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线。求证： △CBD∽△ACD ∽ △ABC。
}
△CBD∽△ACD
同理可证 △ACD ∽ △ABC
∴ △CBD∽△ACD ∽ △ABC
例二 如图，CE交△ABC的高线AD于点O，交AB于E，且OC · BD=AB · OD，求证：CE⊥AB.
}
△ABD ∽ △COD
∠BAD= ∠ OCD
∠AOE= ∠ COD
}
∠AEO= ∠ CDO=Rt ∠
CE⊥AB
练习：
1.找出例2图中的各对相似的直角三角形。
2 .如图， ∠DEB= ∠ACB=Rt ∠，DE=2，AB=5，
BC=3，BD=2.5,求证：AB平分∠DBC。
想一想：
能否说“如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且有一个角对应相等，那么这两个三角形相似”？
如果这两个三角形都是直角三角形呢？
1、直角三角形相似判定的特殊性
（1）有一个锐角对应相等的两个三角形相似；
（2）两直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2、 直角三角形相似的判定
判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。(共11张PPT)
汇英中学九年级数学教研组
教学目标
1、掌握三边对应成比例的两三角形相似判定定理。
2、应用定理3解决简单的计算和证明问题。
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
B
C
C’
B’
A’
三边对应成 比例
已知:如图△ABC和△A B C 中A B :AB=A C :AC=B C :BC.
求证:△ABC∽△A B C
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A B ,
A`
B`
C`
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A B :AB=B C :BC=C A :CA
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A B ∴AD:AB=A B :AB
∴DE:BC=B C :BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△A`B`C`∽△ABC
∴△ADE≌△A`B`C`
A
B
C
C’
B’
A’
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm
A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
试说明∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
答案是2:1
4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似 这个问题有其他答案吗
4
5
6
2
1、平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2、两角对应相等的两三角形相似.
3、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
4、三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形的判定方法
不经历风雨，怎么见彩虹
没有人能随随便便成功!(共12张PPT)
相似三角形的判定定理1
汇英中学九年级数学组
学习目标
1、掌握两角对应相等两个三角形相似的判定方法；
2、熟练应用判定定理解决实际问题。
自学指导
1、请同学们认真看课本P73的内容；
2、注意定理的证明思路、方法和格式；
3、8分钟后老师看谁能准确地完成检测题。
认真选一选
下列各组图形中有可能不相似的是__
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
A
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有______对，它们分别是_____________．
3
△ABC ∽△ACD,
△ABC ∽△CBD，
△ACD ∽△CBD
∟
2、如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是__________（只需填上你认为正确的一种情况即可）．
∠B= ∠AED等
3、如图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD ,求证：△ABC∽△ACD
2、如图,已知∠ABC=90°,DE⊥AC,
求证：ΔABC∽ΔDEC 。
E
D
C
B
A
3.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，试证明ΔABC ∽ ΔADE 。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，作∠C的平分线CD，交AB于D，求证：△ABC∽△CBD 。
╯
36°
D
C
B
A
5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子(图形中的所有点、线都在同一平面内)，找出图中相似（不包括全等）三角形？并说明为什么它们是相似三角形。
A
B
C
D
E
F
G
△AGF∽△BGA
△CFA∽△AFG
请同学们写出证明过程
6、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明。(共11张PPT)
相似三角形的判定定理2
汇英中学九年级数学组
学习目标：
1、理解判定定理2的推理过程。
2、熟练掌握判定定理2的内容及在证明和计算中的运用。
现在要判断两个三角形相似有哪几种方法
(3)有两个角对应相等
有三种方法
(1)根据定义;
①三边对应成比例
②三个角对应相等
A
B
C
D’
E’
F’
(2)预备定理
自学指导：
看课本第74页的定理2的证明过程
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似
两条边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
A
B
C
D’
E’
F’
如图，在ΔABC 和ΔDEF 中
所以ΔABC∽ ΔDEF
△ABC中，D、E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？如果相似，它们的相似比为多少？
A
D
E
B
C
解：
△ADE∽△ABC，相似比为1/2
因为D、E是AB、AC的中点，
在△ADE和△ABC中，
所以△ADE∽△ABC
A
B
E
F
C
54
45
36
30
∴ △AEB∽△FEC.
例1.判断图中△AEB与△FEC是否相似
解:
在△AEB和△FEC中,
A
D
B
C
E
如图△ABC中,D,E是AB,AC上的点,AB=7.8,AD=3,
AC=6,CE=2.1,试判断△ADE与△ABC是否会相似,
小张同学的判断理由是这样的:
解:因为AC=AE+CE,而AC=6,CE=2.1,故AE=6-2.1=3.9
AD/AB=3/7.8=5/13 AE/AC=3.9/6=13/20
由于AD/AB≠AE/AC；所以△ADE与△ABC不会相似.
你同意小张同学的判断吗 请你说说理由.
如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是_________
A．
B． ∠B=∠ADE
D． ∠C=∠AED
C．
△ABC中，D是AB上点，AB=12cm，AC=10cm，AD=3cm，在AC上取一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE的长应是多少？并说明你这种取法的理由。
A
B
C
D
E
如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是_________．
A．
C．
．
B
D(共18张PPT)
相似三角形的判定（一）
汇英中学九年级数学教研组
学习目标
1、理解相似三角形的概念，会写相似式。
2、能准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
3、理解相似比的概念，会求两个相似三角形的相似比。
4、掌握预备定理的证明方法并解决有关问题。
自学指导
1、请同学们认真看课本的P71—72的内容；
2、注意云图内容的提示，预备定理的证明方法；
3、看不懂的地方可以小声问同桌，也可以举手问老师；
4、10分钟后，老师看谁能准确地完成练习题。
知识回顾
1、两个三角形全等的判定方法有哪些？
2、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
A′
B′
C′
10
6
12
51°
82°
1我们学习判定两个图形相似的方法是什么？
2下图它们是相似三角形吗？为什么？
A
6
B
C
5
3
82°
47°
6
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
我们就说△ABC与△A’B’C’相似,
记作:△ABC∽△ A’B’C’.
k就是△ABC与A’B’C’的相似比.
如果k=1,这两个三角形有怎样的关系
如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,DE//BC,DE交AC于点E, △ADE与△ABC有什么关系
思
考
？
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
∴AD=EF.
又∠A=∠1, ∠2=∠C,
∴△ADE≌△EFC,
DE=FC=BF= BC.
∴AE=EC= AC,
∵AD=DB= AB,
即:△ADE与△ABC中,
∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD= AB,
AE= AC,
DE= BC.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
这样,我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等,对应边的比相等,所以它们相似,相似比等于0.5.
△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
改变点D在AB上的位置,继续观察图形,容易进一步猜想△AD’E’与△ABC仍有相似关系．因此，我们有：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所得的三角形与原三角形________.
相似
“A”型
“X”型
（图2）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3
图中共有____对相似三角形。
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个 请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
A
B
C
D
E
F
G
O
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
检测题
1、如图，已知在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求证： △ADE∽△EFC
A
B
C
D
E
F
2、完成同步作业P51的第1、2、3、5、6、7题
