人教版九年级数学上册24.4：弧长和扇形面积 培优练习（19-20年中考真题 Word版 含解析）

24.4弧长和扇形面积19-20年中考真题
培优练习
（满分120分，时间：120分钟）
1、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020?咸宁）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为　　
A．
B．
C．
D．
2（2020?株洲）如图所示，点、、对应的刻度分别为0、2、4、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为　　
A．
B．6
C．
D．
3．（2020?苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为　　
A．
B．
C．
D．
4．（2020?聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
5．（2019?枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（　　）
A．8﹣π
B．16﹣2π
C．8﹣2π
D．8﹣π
6．（2020?沈阳）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为　　
A．
B．
C．
D．
7．（2020?遂宁）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为　　
A．
B．
C．
D．
8．（2020?聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
9．（2019?青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）
A．π
B．2π
C．2π
D．4π
10．（2019?泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（　　）
A．π
B．π
C．2π
D．3π
11．（2020?攀枝花）如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是　　
A．
B．
C．
D．
12．（2020?达州）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为　　
A．
B．
C．
D．
2、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2020?朝阳）如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为2，则图中阴影面积为　
　．
14．（2020?黄石）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中、、为格点，作的外接圆，则的长等于　
　．
15．（2019?荆门）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为　
　．
16．（2020?鄂州）如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于，点为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动　
　秒时，与正方形重叠部分的面积为．
17．（2019?抚顺）如图，直线的解析式是，直线的解析式是，点在上，的横坐标为，作交于点，点在上，以，为邻边在直线，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为；延长交于点，点在上，以，为邻边在，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为按照此规律继续作下去，则　
　．（用含有正整数的式子表示）
18．（2020?潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　
　．
3、简答题（5小题，共66分）
19．（2019?丹东）如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：
①．
②是的切线．
（2）若，求图形中阴影部分的面积．
20．（2019?张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
21．（2019?邵阳）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
22．（2020?临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
23．（2020?孝感）已知内接于，，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记．如图1，若，
①直接写出的值为　
　；
②当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　　；
答案：
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020?咸宁）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为　　
A．
B．
C．
D．
解：，
，
．
故选：．
2（2020?株洲）如图所示，点、、对应的刻度分别为0、2、4、将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为　　
A．
B．6
C．
D．
解：由题意，知，，．
由旋转的性质，得．
在△中，．
．
扇形的面积为．
即线段扫过的图形的面积为．
故选：．
3．（2020?苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为　　
A．
B．
C．
D．
解：，，
，
四边形是矩形，
连接，
点是的中点，
，
，
，
，
矩形是正方形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
4．（2020?聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，
所以其高为：＝（m），
故选：C．
5．（2019?枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（　　）
A．8﹣π
B．16﹣2π
C．8﹣2π
D．8﹣π
解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
6．（2020?沈阳）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为　　
A．
B．
C．
D．
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的长，
故选：．
7．（2020?遂宁）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为　　
A．
B．
C．
D．
解：连接，过作于，如图，
，，
，
与相切于点，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，，
图中阴影部分面积
．
故选：．
8．（2020?聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积＝＝2π，
故选：B．
9．（2019?青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）
A．π
B．2π
C．2π
D．4π
解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝2π，
故选：B．
10．（2019?泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（　　）
A．π
B．π
C．2π
D．3π
解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴劣的长＝＝2π，
故选：C．
11．（2020?攀枝花）如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是　　
A．
B．
C．
D．
解：半圆，绕点顺时针旋转，
，
故选：．
12．（2020?达州）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为　　
B．
B．
C．
D．
解：如图，作点关于的对称点，连接、，
，
四边形为菱形，
折叠后的与、相切，
，，
四边形为正方形，
，
劣弧的长．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2020?朝阳）如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为2，则图中阴影面积为　　．
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
14．（2020?黄石）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中、、为格点，作的外接圆，则的长等于　　．
解：每个小方格都是边长为1的正方形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
连接，则，
，
的长为：，
故答案为：．
15．（2019?荆门）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为　　．
解：过作于，于，
等边三角形的边长为2，，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
16．（2020?鄂州）如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于，点为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动　1或　秒时，与正方形重叠部分的面积为．
解：如图1中，当点，落在上时，与正方形重叠部分的面积为
此时，运动时间（秒
如图2中，当点，落在上时，与正方形重叠部分的面积为
此时，运动时间（秒，
综上所述，满足条件的的值为1秒或秒．
故答案为1或．
17．（2019?抚顺）如图，直线的解析式是，直线的解析式是，点在上，的横坐标为，作交于点，点在上，以，为邻边在直线，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为；延长交于点，点在上，以，为邻边在，间作菱形，分别以点，为圆心，以为半径画弧得扇形和扇形，记扇形与扇形重叠部分的面积为按照此规律继续作下去，则　　．（用含有正整数的式子表示）
解：过作轴于，连接，，，，
点在上，的横坐标为，点，，
，，
，
在△中，，
，
直线的解析式是，
，
，
，
交于点，
，
，
，
四边形是菱形，
△是等边三角形，
，
，
，
，，，
同理，，
，
．
故答案为：．
18．（2020?潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　4039π　．
解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．
故答案为：4039π．
三、简答题（5小题，共66分）
19．（2019?丹东）如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：
①．
②是的切线．
（2）若，求图形中阴影部分的面积．
解：（1）证明：①如图1，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②由①知，，
，
，
是等边三角形，
，
，
由①知，，
，
，
，，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）如图2，连接，
，
，
，
设的半径为，
，
，
，
，，
，，
由（1）知，，
，
是等边三角形，
，
根据勾股定理得，，
．
20．（2019?张家界）如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分面积．
解：（1）如图，连接，，，
为的直径，
，
在中，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
为半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
21．（2019?邵阳）如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
【解答】解：在等腰中，，
，
是的角平分线，
，，
，
，
由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
22．（2020?临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
（1）证明：连接AP，
∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P＝，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC∥O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，
∴四边形ABDO2是矩形，
∴AB＝O2D，
∵O1A＝r1+r2，
∴O2D＝r2，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A＝，
∴∠AO2C＝30°，
∵BC∥O2A，
∴∠BCE＝AO2C＝30°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC＝＝＝2，
∴S阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．
23．（2020?孝感）已知内接于，，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记．如图1，若，
①直接写出的值为　　；
②当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　　；
解：如图1，连接，，
是的切线，
，
，，
是等边三角形，
，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②的半径为2，
，，
，
阴影部分的面积为：；
故答案为：；