人教版数学八年级上册13.4 最短路径问题课件（20张）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.4 最短路径问题课件（20张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 131.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-24 19:18:43 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
人教版《数学》八年级上册
13.4
课题学习:
最短路径问题
学习目标：
能利用“两点之间线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”并结合对称、平移等变换解决最短路径问题。
所用知识：
1、两点之间线段最短。
A.
.B
2、
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
.P
Q
.
问题1 L是一条河流，点A是一个村庄，现要在
河边修一个水站向A村供水。问：水站建在何处才能
使管道最短？
L
A.
P
点P即为所求
知识应用：
.
问题2 L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸
的两个村庄，现要在河边修一个水站向A、B两村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？
L
A
.
.
B
P
点P即为所求
知识应用：
A
.
.
B
问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
知识应用：
M
N
B
M
N
E
A
.
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸于点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
.
F.
.
证明：若桥的位置建在CD处，连接AC，
CD，DB，CE,
由平移的性质，得
BN∥EM
且BN=EM,
MN=CD,
BD∥CE,
BD=CE,
在MN处建桥：A、B两地的距离为AM+MN+BN=AM+MN+EM
=AE+MN
在CD处建桥：A、B两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE
=AC+CE+MN。
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB
＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在MN处，
A、B两地的路程最短。
E
B
M
N
C
D
A
F.
问题4 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜
访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然
后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全
程最短？
B
A
l
知识应用（将军呢饮马问题）
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
B
·
·
A
l
数学建模：
现在的问题就是怎样找出使两条线段长度之和
为最短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，
上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小．
C
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
基本方法：
.
你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
说明理由:
.
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与
点C
不重合），连接AC′，BC′，B′C′
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′
∴ AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′
AC′+BC′
=
AC′+B′C′
B
·
l
A
·
B′
C
C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′
即 AC
+BC＜AC′+BC′
因此 AC
+BC
最短
.
若直线l
上任意一点（与点
C
不重合）与A，B
两点的距离
和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上
任取一点C′（与点C
不重合），
证明AC
+BC
＜AC′+BC′？
这里的“C′”的作用是什么？
思考：
.
拓展提高1：
如图，直线l是草场的边缘，直线m是河流的岸边，点A是牧场，牧羊人要先到草场放牧，再到河边饮水，最后回到牧场。问:他怎么行走才能是所走的路径最短？
l
m
.
A
A1
.
A2
.
B
C
B1.
C1.
如图，点A、B是直角坐标系中第一象限的两点，从点A出发先到达X轴在到达Y轴，最后到达B点。问：怎么行走才能使所走的路径最短？
O
X
Y
.
A
.
B
拓展提高2：
A1
.
B1
.
M
N
M1.
N1.
如图，L是一条直线，点A、B是直线同侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.
A
.
B
L
提高一步1：
C
c1
点C即为所求
变形：如图，L是一条直线，点A、B是直线异侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.
A
.
B
L
.
B1
C
C1
点C即为所求
提高一步2：
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称、平移等数学变换在所研究问题中起什么作用？
归纳小结：
谢谢
再见
人教版《数学》八年级上册
13.4
课题学习:
最短路径问题
学习目标：
能利用“两点之间线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”并结合对称、平移等变换解决最短路径问题。
所用知识：
1、两点之间线段最短。
A.
.B
2、
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
.P
Q
.
问题1 L是一条河流，点A是一个村庄，现要在
河边修一个水站向A村供水。问：水站建在何处才能
使管道最短？
L
A.
P
点P即为所求
知识应用：
.
问题2 L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸
的两个村庄，现要在河边修一个水站向A、B两村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？
L
A
.
.
B
P
点P即为所求
知识应用：
A
.
.
B
问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
知识应用：
M
N
B
M
N
E
A
.
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸于点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
.
F.
.
证明：若桥的位置建在CD处，连接AC，
CD，DB，CE,
由平移的性质，得
BN∥EM
且BN=EM,
MN=CD,
BD∥CE,
BD=CE,
在MN处建桥：A、B两地的距离为AM+MN+BN=AM+MN+EM
=AE+MN
在CD处建桥：A、B两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE
=AC+CE+MN。
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB
＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在MN处，
A、B两地的路程最短。
E
B
M
N
C
D
A
F.
问题4 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜
访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然
后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全
程最短？
B
A
l
知识应用（将军呢饮马问题）
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直
线．
B
·
·
A
l
数学建模：
现在的问题就是怎样找出使两条线段长度之和
为最短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，
上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小．
C
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交
于点C．
则点C
即为所求．
如图，点A，B
在直线l
的同侧，点C
是直
线上的一个动点，当点C
在l
的什么位置时，
AC
与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B′
C
基本方法：
.
你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
说明理由:
.
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与
点C
不重合），连接AC′，BC′，B′C′
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′
∴ AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′
AC′+BC′
=
AC′+B′C′
B
·
l
A
·
B′
C
C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′
即 AC
+BC＜AC′+BC′
因此 AC
+BC
最短
.
若直线l
上任意一点（与点
C
不重合）与A，B
两点的距离
和都大于AC
+BC，就说明AC
+
BC
最小．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明AC
+BC
最短时，为什么要在直线l
上
任取一点C′（与点C
不重合），
证明AC
+BC
＜AC′+BC′？
这里的“C′”的作用是什么？
思考：
.
拓展提高1：
如图，直线l是草场的边缘，直线m是河流的岸边，点A是牧场，牧羊人要先到草场放牧，再到河边饮水，最后回到牧场。问:他怎么行走才能是所走的路径最短？
l
m
.
A
A1
.
A2
.
B
C
B1.
C1.
如图，点A、B是直角坐标系中第一象限的两点，从点A出发先到达X轴在到达Y轴，最后到达B点。问：怎么行走才能使所走的路径最短？
O
X
Y
.
A
.
B
拓展提高2：
A1
.
B1
.
M
N
M1.
N1.
如图，L是一条直线，点A、B是直线同侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.
A
.
B
L
提高一步1：
C
c1
点C即为所求
变形：如图，L是一条直线，点A、B是直线异侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?
.
A
.
B
L
.
B1
C
C1
点C即为所求
提高一步2：
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称、平移等数学变换在所研究问题中起什么作用？
归纳小结：
谢谢
再见