江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测
（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考
高三数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U=R，集合M=，N=，则阴影部分表示的集合是（
）
A.
B．
C．
D．
2．若复数，则（
）
A．1
B．
C．
D．4
3．已知函数的图象大致为（
）
4．的展开式中，含x2的系数是（
）
A．1
B．3
C．6
D．10
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n
C．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β
D．若αβ=m，nα，则n⊥β
6．已知奇函数的图象关于直线x=3对称，当时，，则（
）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
8．已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（
）
A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（
）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．不是函数图象的对称轴
D．在区间上的最小值为
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（
）
A．函数的图象关于原点对称
B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立
C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等
D．对任意常数m>0，存在常数b>a>m，使函数在上单调递减
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知，则的值为
．
14．设函数在区间单调递增，则k的取值范围是
．
15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为
．
16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于，则动点在P在三棱锥表面形成的曲线的长度为
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）解不等式．
18．（本小题满分12分）
已知数列满足：a1＝2，．
（1）记，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式及前n项和．
19．（本小题满分12分）
在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设PA＝1，∠ABC=60°，三棱锥E-ACD的体积为，求二面角D-AE-C的余弦值．
21.
(本小题满分12分)
携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务。2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动。某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人。
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平
满意人数
对业务水平
不满意人数
合计
（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：，．
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.
(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）若a=1，对于任意[1,10]，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测
（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考
高三数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U=R，集合M=，N=，则阴影部分表示的集合是（
）
A.
B．
C．
D．
【答案】C
【考点】集合的运算
【解析】由题意阴影部分表示M中去掉M∩N的部分，且M∩N=N=，则阴影部分表示：，故答案选C.
2．若复数，则（
）
A．1
B．
C．
D．4
【答案】B
【考点】复数的运算
【解析】由题意，故答案选B.
3．已知函数的图象大致为（
）
【答案】B
【考点】函数的图象
【解析】由题意该函数，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D选项；因为，而可以取到负数，则排除C选项；去特殊值，且当，则排除A，故答案选B.
4．的展开式中，含x2的系数是（
）
A．1
B．3
C．6
D．10
【答案】D
【考点】二项式定理展开式
【解析】由题意的展开式中，含x2的系数为，故答案选D.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n
C．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β
D．若αβ=m，nα，则n⊥β
【答案】C
【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直
【解析】对于A选项，m与n可相交、异面，则选项A错误；对于B选项，m与n可异面，则选项B错误；对于C选项，若m⊥α，m∥n，可推导出n⊥α，又由nβ，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C正确；对于D选项，n与β可平行、相交，则选项D错误；故答案选C.
6．已知奇函数的图象关于直线x=3对称，当时，，则（
）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】D
【考点】函数概念与基本性质
【解析】由题意为奇函数，则，又的图象关于直线x=3对称，则，则有，即，所以，则周期为12，所以.故答案选D.
7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【考点】文化题：利用周期性求数列的项
【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故答案选A.
8．已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）
【解析】由题意方程在区间内有3个不相等的实根，可等价于函数与函数的图象在内有三个交点.因为当时，，当时，，所以，
因为当时，，所以，
如图，可画出函数在内的图象，有图象可知，当或a=1时，与函数的图象在内有三个交点.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（
）
A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
【答案】AC
【考点】信息统计与理解应用
【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B错误；对于C选项，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C正确；对于D选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D错误；故答案选AC.
10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（
）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．不是函数图象的对称轴
D．在区间上的最小值为
【答案】ACD
【考点】三角函数的图象与性质
【解析】由题意可知，对于选项A，的最小正周期为，所以A选项正确；对于选项B，若单调递减，则，解得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B选项错误；对于选项C，当时，，所以不是函数图象的对称轴，故C选项正确；对于选项D，，，则
，即在区间上的最小值为，故D选项正确。
所以答案选ACD.
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【考点】等差数列的通项公式及求和
【解析】由题意可设的首项为，公差为d，因为，所以代入求和公式可得，化简得，所以，
，所以，，，
，所以答案选BD.
12．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（
）
A．函数的图象关于原点对称
B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立
C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等
D．对任意常数m>0，存在常数b>a>m，使函数在上单调递减
【答案】BD
【考点】函数的性质、函数与方程
【解析】由题意对于选项A，函数的定义域为，且
，所以为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A选项错误；
对于选项B，由A选项可知为偶函数，所以当x>0时，，所以，可得到，即，可设，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，故B选项正确；
对于选项C，函数的图象与x轴的交点坐标为，交点与间的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C选项错误；对于选项D，，可化为ex(cosx－sinx)
，不等式两边同除以得，，当，，，区间长度为，所以对于任意常数m>0，存在常数b>a>m，，
，使函数在上单调递减，故D选项正确；
所以答案选BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知，则的值为
．
【答案】
【考点】三角函数诱导公式、三角恒等变换
【解析】由题意，所以，所以，，所以.
14．设函数在区间单调递增，则k的取值范围是
．
【答案】
【考点】函数的单调性与导数、恒成立问题
【解析】由题意可得在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，所以，所以k的取值范围为.
15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为
．
【答案】
【考点】利用排列组合求概率
【解析】由题意可知随机地填涂了一到三个选项，共有种涂法，而得分的涂法为B、BD、D，共有3种，则能得分的概率为.
16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于，则动点在P在三棱锥表面形成的曲线的长度为
．
【答案】
【考点】空间点与平面的位置关系
【解析】由题意可设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示，则BE=BH=，在Rt△BAH中，，所以，，所以弧，同理得弧，在Rt△HAE中，，，则弧，在等边三角形BCD中，，所以弧，则所求曲线的长度为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）解不等式．
【考点】函数的基本性质、对数运算、解对数不等式
【解析】（1）由题意，因为，所以，解得－2
因为，所以函数为上的奇函数；
（2）因为，所以，解得
－218．（本小题满分12分）
已知数列满足：a1＝2，．
（1）记，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式及前n项和．
【考点】数列求通项公式、求和
【解析】（1）由题意可知，对于，等式两边同时除以，
可得，即为常数，又，且，则数列为首项是1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）知，所以，
所以①
②
①－②得，
所以．
19．（本小题满分12分）
在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】解三角形应用
【解析】由题意可知在△ABC中，因为a2＋b2－c2=4，
且，所以，
由余弦定理可知，
因为，且，所以，
若选①a＝6，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c>a，所以C>A，又因为，则A只有一解，且，所以，
所以；
若选②a＝8，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c所以，
所以；
若选③a＝12，由正弦定理可得，
解得，
则△ABC无解，即三角形不存在.
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设PA＝1，∠ABC=60°，三棱锥E-ACD的体积为，求二面角D-AE-C的余弦值．
【考点】立体几何的位置关系：平行与垂直、用空间向量求空间角、几何体的体积
【解析】证明：（1）连结BD交AC与点O，连结OE，
因为底面ABCD为菱形，所以点O为BD的中点，
在△PDB中，因为E为PD的中点，所以PB∥OE，
因为OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC；
（2）因为VP-ABCD=2VP-ACD=4VE-ACD=4×=，
设菱形ABCD的边长为a，则VP-ABCD==，
解得a=，
取BC的中点为M，连结AM，则AM⊥BC，即AM⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，且AM，AD平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，
则以点A为坐标原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示：
则A(0，0，0)，C(，，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，则E(0，，)，则=(0，，)，=(，，0)，
由AM⊥平面DAE，可得=(1，0，0)为平面DAE的一个法向量，
可设平面AEC的一个法向量为=(x，y，z)，
则，即，即，
令x=1，则y=，z=3，则=(1，，3)，
设二面角D-AE-C的平面角为，则
所以二面角D-AE-C的余弦值为．
21.
(本小题满分12分)
携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务。2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动。某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人。
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平
满意人数
对业务水平
不满意人数
合计
（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：，．
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】概率统计：线性相关、随机事件的分布列期望、随机事件的概率
【解析】（Ⅰ）由题意可知对业务水平的满意人数为120人，对服务水平满意的人数为100人，则可得2×2列联表：
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平
满意人数
90
30
120
对业务水平
不满意人数
10
10
20
合计
100
40
140
所以，
所以有97.5%的把我认为业务水平与服务水平相关．
（Ⅱ）由题意可知X的可能值为0，1，2.
且，，
所以分布列为：
X
0
1
2
P
所以期望E(X)=.
（Ⅲ）由题意在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为.
则从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，
所以在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户中，至少有2名客户流失的概率为.
22.
(本小题满分12分)
已知函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）若a=1，对于任意[1,10]，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】导数的几何意义、函数的切线方程、恒成立问题
【解析】（1）由题意可知函数的定义域为，
因为，所以，，解得a=1，则，所以，
令，解得，，
所以当时，，当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
极大值为；
（2）当a=1，
不等式可化为，
即变形为，
令，则，（x>0），不等式可化为，
因为对任意[1,10]，当时，不等式恒成立，
则可知在[1,10]上单调递减，
因为，
所以在[1,10]上恒成立，
则在[1,10]上恒成立，
令，则，
所以在[1,10]上单调递增，所以，
所以m≥1710，所以实数m的取值范围为．