(共47张PPT)
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．解三角形问题主要有两种题型，一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正余弦定理求值；二是与平面向量结合，判定三角形形状或结合正余弦定理求值．试题一般是中低档试题，客观题解答题均有可能出现．
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．
解斜三角形共包括四种类型：
(1)已知三角形的两角和一边；
(2)已知两边及夹角；
(3)已知三边；
(4)已知两边和一边的对角．
其中类型(4)中应特别注意解的情况．
一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种．
答案： (1)D (2)A
求解三角形中的几何计算问题，要首先确定与未知量之间相关联的量，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知识来解决．
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，也可用余弦定理．
答案： A
1．函数与方程思想
函数的思想就是运用变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系．在具体问题中把变量之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．本章中主要借助二次函数来研究距离和速度的最值问题．
方程的思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正弦定理、余弦定理在一定条件下都可以看做方程，从而求出所需要的量．
2．分类讨论思想
当数学问题不能用统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后综合各类解而得到原问题的答案．这种解决问题的思想方法叫做分类讨论的思想方法．如正弦定理的证明(对三角形分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形逐一讨论，并将锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形)，解三角形中解的个数等，通过讨论，将不可能的或与题设条件不相符的逐一排除，从而得出正确结论，讨论时要做到不重不漏．
如图所示，A、B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛沿南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．
3．转化与化归思想
一些问题直接求解比较困难，需将原问题转化为一个自己熟悉的易于求解的问题，这就是转化与化归的思想．在本章中，将所求面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题等，都是转化与化归思想的具体应用．
如下图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°，A处有一灯塔，其方位角是110°，在C处观察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行30分钟，求C到灯塔A的距离．
4．数形结合的思想
将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把已知条件中的数量关系转化到图形中；从而使问题易于解决，这就是数形结合．在解三角形或实际问题时，较多地用到数形结合的思想．
答案： C
答案： A
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________.
答案： 4或5
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第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用
1．掌握三角形的面积公式．
2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.
1．本节的重点是三角形中的几何计算．
2．利用正、余弦定理及三角函数公式解决一些综合题.
在△ABC中，若已知AB的长度和AB边上的高，可以计算三角形的面积，若已知AB、AC及角A，能计算△ABC的面积吗？
三角形面积公式
acsin B
bcsin A
答案： B
答案： B
3．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.
答案： 16
4．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A＝tan B，a＝b(1＋cos A)，求证：A＝C.
[题后感悟] 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用。
由题目可获取以下主要信息：
①要证明等式的左边是三角形的边的关系式；
②右边是三角形角的关系式．
解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边，即可证明．
[题后感悟] 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．
2．在△ABC中，求证：c(acos B－bcos A)＝a2－b2.
在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(1)由正弦定理把角转化为边，由余弦定理求角；
(2)由正弦定理把边转化为角，求角．
[题后感悟] 此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．
3．若本例中条件不变，问题改为“求sin B＋sin C的最大值”．
1．解三角形问题的几种类型
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件 应用定理 一般解法
一边和两角(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C) 余弦定理
正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解
三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，b，A) 正弦定理
余弦定理 由正弦定理求出B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解
[特别提醒] 在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常出现增解的情况，因此需根据三角形中边角的关系进行取舍．
2．三角形形状的判断
判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：
方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断三角形的形状．
方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关系．常见结论有：
若cos(A＋B)>0，则角C是钝角；
若cos(A＋B)<0，则角C是锐角；
若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．
有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以达到化异为同的效果．
【错因】 本题没有注意到AB>AC，所以C>B，
从而C有两解．
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1.2 应用举例
第1课时 正、余弦定理在实际中
的应用
1．熟练掌握正、余弦定理．
2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、角度、高度等问题.
1．应用正、余弦定理解与三角形有关的问题在高考中有所加强．
2．以解答题形式考查测量问题.
1．正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，这个关系式是
2．余弦定理的公式是 ， ， .
3．在△ABC中，若a2＋b2>c2，则角C是 ；若a2＋b2
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos_B
c2＝a2＋b2－2abcos_C
锐角
钝角
直角
1．基线
(1)定义：在测量上，根据 需要适当确定的线段叫做基线．
(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的 ，使测量具有较高的 ．一般来说，基线越长，测量的精确度越 ．
测量
精确度
基线
长度
高
2．对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解
(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°.
3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习它们在测量 、 、 等问题中的一些应用．
距离
高度
角度
1．如下图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
答案： B
答案： D
3．如图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________．
答案： 60 m
4．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
[解题过程] 如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，
根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
[题后感悟] (1)将追及问题转化为三角形问题，即可把实际问题转化为数学问题．这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了．最后要把数学问题还原到实际问题中去．
(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．
如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
[题后感悟] 解决测量高度问题的一般步骤是：
在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在同一海平面上且相距1 000米，求山的高度．(精确到1米，sin 40°≈0.643)
画出示意图，在三角形中利用正、余弦定理求有
关角度进而解决问题．
[题后感悟] 在充分理解题意的基础上画出大致图形，由问题中的有关量提炼出三角形中的元素．用余弦定理、勾股定理解三角形．
(2)解三角形应用题的步骤
①准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；
②画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
③分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．
[特别提醒] 在解题时要注意公式的选择，使解题过程尽可能简化，尽量避免讨论．
◎某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
【错因】 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．
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1．1.2 余弦定理
1．了解向量法证明余弦定理的推导过程．
2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题.
1．利用余弦定理求三角形中的边角问题及正、余弦定理的综合应用是本节热点．
2．三种题型都有可能出现，属中、低档题.
1．在Rt△ABC中，C＝90°，三边满足勾股定理 .
2．在△ABC中，正弦定理是
3．在△ABC中，若a＝3，b＝5，C＝45°，三角形确定吗？又如何求边c的长？
4．在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，能求角A、B、C吗？
a2＋b2＝c2
1．余弦定理
(1)语言叙述
三角形中任何一边的平方等于 减去 的积的 ．
(2)公式表达
a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝ .
其他两边的平方和
这两边与它们夹角的余弦
两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
2．余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形．
两边及夹角
三边
答案： A
答案： A
3．△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是________．
答案： 钝角三角形
4．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
由题目可获取以下主要信息：
①已知三边比例；
②求三角形的三内角．
解答本题可应用余弦定理求出三个角．
[题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地，先求最小角，再求最大角)．
[题后感悟] 可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
2．若将题中条件改为“b＝3，c＝2，A＝30°”，应如何求解三角形？
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状．
由题目可获取以下主要信息：
①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C；
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．
[题后感悟] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
4．在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
1．余弦定理与勾股定理之间的联系
(1)对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C中，若C＝90°，则c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具．
①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛．
[特别提醒] 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
2．解三角形问题的类型
解三角形的问题可以分为以下四类：
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．
(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．
(4)已知三角形的三边，解三角形．
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．
要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．
◎已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
【错因】 忽略隐含条件k＋(k＋2)>k＋4，即k>2，
而不是k>0.
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1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
1．了解正弦定理的推导过程．
2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．利用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题是本节热点．
2．对本课内容的考查较灵活，三种题型均有可能出现.
1．任意三角形三边满足： ，三个角满足： ，并且大边对 ，小边对 ．
2．直角三角形三边长满足勾股定理，即 .
两边之和大于第三边
大角
小角
sin A
sin B
内角和为180°
a2＋b2＝c2
正弦
2．解三角形
(1)把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形．
三边
对角
其它元素
答案： C
答案： A
在△ABC，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形．
已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况，∵a>b，∴A>B，B为小于45°的锐角，故有一解，先由正弦定理求角B，然后由内角和定理求C，然后再由正弦定理求边c.
2．本例中条件“A＝60°”改为“B＝45°”，其它条件不变，解三角形．
在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
观察已知条件，是一个边角等式，可以应用正弦定
理把边化为角，再利用三角公式求解．
[题后感悟] (1)确定三角形的形状主要有两条途径：
①化边为角；②化角为边．
(2)确定三角形形状的思想方法：
先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能．
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
解析： ∵b＝acos C，
由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C，
∴cos Asin C＝0，
[题后感悟] (1)正弦函数y＝sin x的值域是[－1,1]，据此可判断是否有解．
(2)在△ABC中，大边对大角，小边对小角，据此可判断解的个数.
2．解斜三角形的类型
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 (1)a＝bsin A
(2)a≥b bsin Ab a≤b
解的
个数 一解 两解 无解 一解 无解
练考题、验能力、轻巧夺冠