5.6二元一次方程与一次函数(有答案）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第五章二元一次方程组
5.6
二元一次方程与一次函数
【知识清单】
1.
二元一次方程与相应一次函数的关系
2.二元一次方程组与一次函数的对应关系
【经典例题】
例题1、以方程x6y=4的解为坐标的所有点都在一次函数y=
的图象上.
【考点】二元一次方程与一次函数的关系．
【分析】因为以方程x6y=4的解为坐标的所有点组成的图象就是对应的一次函数图象，所以这个一次函数的表达式就是方程x6y=4的变形，即用含x的代数式表示出y.
【解答】由x6y=4，得6y=x4，
即y==，故答案为.
【点评】x6y=4与y=从等式角度来看是一样的，这就决定了二元一次方程与一次函数的关系．
例题2、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是(
)
A．
B．
C．
D．?
【考点】一次函数与二元一次方程(组)．?
【分析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应该先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两条直线的解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
【解答】由图可知，直线l1经过两点的坐标为：(0，2)，(2，1)；
直线l2经过两点的坐标为：(0，3)，(2，1)，
设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将(0，2)，(2，1)代入得
b1=2，2k1+b1=1，
解得k1=，b1=2∴直线l1的解析式为y=x+2，
∴相应的二元一次方程为x+2y4=0；
设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将(0，3)，(2，1)代入得
b2=3，2k2+b2=1，
解得k2=2，b2=3，
∴直线l2的解析式为y=2x3，
∴相应的二元一次方程为2xy3=0；
则所解的二元一次方程组是，
故选B.
【点评】在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．
【夯实基础】
1．若二元一次方程5x7y=4所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是(
)
A．(2，2)
B．(2，2)
C．(9，7)
D．(2，)
2．如图，已知函数y=ax+b与y=mx+n的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y是二元一次方程组的解是
(
)
A．
B．
C．
D．?
3．已知方程组
的解为，则直线
与
的交点坐标为(
)
A．(1，2)
B．(1，
2)
C．(1，2)
D．(1，2)
4．如图，过点Q(0，4)的直线与一次函数的图象相交于点P，能表示这条直线的方程为
(
)
A．3x+y+4=0
B．
3xy4=0
C．3xy+4=0
D．3x+y+4=0
5．已知一次函数y=kx+b与正比例函数y=3x的图象平行且经过点P(5，6)，则k·b=
．
6．二元一次方程7x12y=21有
解，以它的解为坐标的点都在一次函数
y=
的图象上.
7．若函数y=3x+a和y=3x+b的图象都经过点(m，5)，则
.
8．若二元一次方程kx3y=b的两组解分别为和，求对应的一次函数表达式.
9．在同一直角坐标系内作出一次函数
和的图象.
(1)求直线与的交点坐标；
(2)你能据此求出方程组的解吗？
【提优特训】
10．已知实数a、b满足，则一次函数y=ax+b的图象不经过
(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．若直线与y=nx5相交于点(2，7)，则
nm的平方根为(
)
A．3
B．3
C．
D．±3
12．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2xy=2的解的是(　　)
13．一次函数y=ax+b(k、b为常数，k≠0)的图象经过A、B两点，根据图象的信息求关于x的方程ax+b=3的解为
(
)
A．x=3
B．x=6
C．x=12
D．x=2
14．如点A、B、C、D的坐标分别为A(0，4)，B
(2，0)，C
(0，8)，D
(4，0)，则直线AB与直线CD的交点P坐标为
．
15．小明同学在解方程组的过程中，将b错看成了6，得到了方程组的解为
，又知直线y=kxb经过点(3，7)，则b=
.
16．如图，△AOB≌△COD，直线AB的解析式为y1=k1x+b1，
直线CD的解析式为y2=k2x+b2，
则k1·k2=
.
17．如图，直线l1：y=2x+2与直线l2：y=mx+5相交于点P(1，b)，垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长度为7，则a的值为
.
18．如图，一次函数y=x5和y=kx+1的图象与x轴分别相交于A，C两点，与y轴分别相交于B，D两点，两个函数图象的相交于点P，且P点到y轴的距离为2.
(1)求k的值；
(2)不解方程组，请直接写出方程组的解；
(3)
求四边形OCPB的面积.
19．如图，直线l1：y=k1x+b1(k1≠0)分别与x轴，y轴相交于点A(3，0)和点B(0，2)，直线l2：y=2xb2与直线l1相交于点P，与y轴相交于点C，已知点P的纵坐标轴为4.
(1)求l1与l2的函数表达式；
(2)求△BCP的面积.
【中考链接】
20．(2019?山东济宁)
数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解为
(
)
A．x=20
B．x=5
C．x=25
D．x=15
21．(2020?湘潭)已知两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，若l1⊥l2，则有k1?k2=1，反之也
成立．
【应用】(1)已知y=3x+1与y=kx1垂直，求k的值；
(2)已知直线m经过点A(2，3)，且与y=x+3垂直，求直线m的解析式．
【探究】(3)在同一直角坐标系上，给定4个点A(1，3)、B(3，0)、C(0，4)
和D(4，1)，任意连接其
中两点能得到多少条不同的直线？这些直线中共有多少组
互相垂直关系？并选择其中一组互相垂直关系进行证明．
22．(2020?河南)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动方案如下：方案(一)：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案(二)：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次)，按方案一所需费用为y1(元)，且y1=k1x+b；按方案二所需费用为y2(元)，且y2=k2x，其函数图象如图所示.
?
(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
(2)打折前的每次健身费用和k2的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？
说明理由.
?
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、C
5、27
6、无数个解，
7、5
10、C
11、D
12、C
13、D
14、(3，2)
15、b=8
16、1
17、a=1或a=
20、A
8．若二元一次方程kx3y=b的两组解分别为和，求对应的一次函数表达式.
解：∵和均是二元一次方程kx3y=b的解，
∴
解得，
∴4x3y=8
∴对应的一次函数表达式为.
9．在同一直角坐标系内作出一次函数和的图象.
(1)求直线与的交点坐标；
(2)你能据此求出方程组的解吗？
解：(1)作图如图：可知直线
与的交点坐标为(4，3)；
(2)根据二元一次方程与一次函数的关系
可以得到方程组的解为.
18．如图，一次函数y=x5和y=kx+1的图象与x轴分别相交于A，C两点，与y轴分别相交于B，D两点，两个函数图象的相交于点P，且P点到y轴的距离为2.
(1)求k的值；
(2)不解方程组，请直接写出方程组的解；
(3)
求四边形OCPB的面积.
解：(1)∵且P点到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为2，即x=2，
将x=2代入y=x5得，y=3，
∴点P的坐标为(2，3)，
∵一次函数y=kx+1的图象经过点P(2，3)，
∴3=2k+1，解得k=-2；
∴一次函数y=kx+1为y=2x+1，
(2)
方程组的解为；
(3)
∵直线y=x5与坐标轴相交于A、B两点，
∴当x=0，y=5，点B的坐标为(0，5)，
当x=5，y=0，点A的坐标为(5，0)，
∴OA=OB=5，
在一次函数y=2x+1中，
令y=0，x=，则点C的坐标为(，0)，
∴OC=，
AC=OA=OC=5=，
∵点P的坐标为(2，3)，
∴点P到x轴的距离为3，
∴四边形OCPB的面积=△AOB的面积△ACP的面积
=·OA·OB·AC·3=×5×5××3=.
19．如图，直线l1：y=k1x+b1(k1≠0)分别与x轴，y轴相交于点A(3，0)和点B(0，2)，直线l2:y=2xb2与直线l1相交于点P，与y轴相交于点C，已知点P的纵坐标轴为4.
(1)求l1与l2的函数表达式；
(2)求△BCP的面积.
解：(1)∵直线l1：y=k1+b1(k≠0)分别与x轴、y轴相交于点A(3，0)和点B(0，2)，
∴，
解得，b1=2，
∴直线l1的解析式为：y=x+2，
∵点P的纵坐标为4，且直线l1
y=x+2经过P点，
∴4=x+2，解得x=3，
∴P(3，4)，点P到y轴的距离为3，
将P(3，4)代入y=2xb2?得：b2=2，
∴直线l2的解析式为：y=2x2；
(2)由直线l1的解析式为：y=x+2可知B(0，
2)，
由直线l2的解析式为：y=2x2可知C(0，2)，
∴BC=4
∴△BCP的面积为.
21．(2020?湘潭)已知两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，若l1⊥l2，则有k1?k2=1，反之也
成立．
【应用】(1)已知y=3x+1与y=kx1垂直，求k的值；
(2)已知直线m经过点A(2，3)，且与y=x+3垂直，求直线m的解析式．
【探究】(3)在同一直角坐标系上，给定4个点A(1，3)、B(3，0)、C(0，4)
和D(4，1)，任意连接其
中两点能得到多少条不同的直线？这些直线中共有多少组
互相垂直关系？并选择其中一组互相垂直关系进行证明．
解：(1)∵l1⊥l2，则k1?k2=1，
∴3k=1，∴k=；
(2)∵过点A直线与y=x+3垂直，
∴设过点A直线的直线解析式为y=2x+b，
把A(2，3)代入得，b=1，
∴解析式为y=2x1．
(3)连接其中任意两点能得到6条直线，
这些直线中共有5组互相垂直关系，(它们分别是：AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥DA，
DA⊥AB和AC⊥BD)．
设直线BC为：y=k1x4，将B(3，0)代入得：0=3k14
解得：k1=；
设直线CD为：y=k2x4，将D(4，1)代入得：1=4k24
解得：k2=；
∵k1?k2=×=1，
∴BC⊥CD．?
22．(2020?河南)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动方案如下：方案(一)：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案(二)：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次)，按方案一所需费用为y1(元)，且y1=k1x+b；按方案二所需费用为y2(元)，且y2=k2x，其函数图象如图所示.
?
(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
(2)打折前的每次健身费用和k2的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？
说明理由.
?
解：(1)∵y1=k1x+b的图象过点(0，30)和点(10，180)，
∴30=b，10k1+b=180，
解得k1=15，b=30；
?
k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元，
b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元.
?
(2)打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元)，
则k2=25×0.8=20.
(3)∵k1=15，b=30，
∴y1=15x+20，
∵k2=20，∴y2=20x．
当y1=y2时，15x+30=20x，
解得x=6.
所以结合图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费用更少.
一条直线
一次函数
(a≠0，b≠0)
数转形
图象
一一对应
二元一次方程组
ax+by+c=0(a≠0，b≠0)
形转数
无
数
个
例题2图
对应
以解为坐标的点组成函数图象
第4题图
图象上的点的坐标是方程的解
两个一次函数
A
B
C
D
第2题图
相互转化
解
转化
转化
解
两个一次函数值相等时的自变量值及函数值
两条直线的
交点的坐标
两条直线
二元一次方程组
第9题图
第13题图
第14题图
第16题图
第18题图
第17题图
第19题图
第20题图
第22题图
第9题图
第18题图
第19题图
第22题图
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