5.1.1 任意角 同步课件（共24张PPT）

第五章 三角函数
5.1 任意角
教学目标
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．
3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
重点难点
重点：
理解象限角的概念及终边相同的角的含义；
难点：
掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角.但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角.例如体操中有“前空翻转体540°”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.
请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？
情景导入
情景导入
阅读课本168-170页，思考并完成以下问题
1．角的概念推广后，分类的标准是什么？
2．如何判断角所在的象限？
3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
研探新知
知识点一 任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条 射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 ．
研探新知
知识点二 任意角
2、角的表示
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
研探新知
知识点三 任意角
3、按旋转方向，角可以分为三类：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}名称
定义
图示
正角
按 逆时针 方向旋转形成的角

负角
按 顺时针 方向旋转形成的角

零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
研探新知
知识点二 象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边 在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限．
研探新知
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
典型例题
例1 给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
①
解：①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．
典型例题
例2 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°，②855°，③－510°.
解：作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
变式训练
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C　 B．A?C
C．A∩C＝B D．B∪C?C
【解析】由已知得B C，所以B∪C?C，故D正确．
D
变式训练
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解:－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．
D
典型例题
例3 将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(－3)×360°＋195°
解：－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
典型例题
例4 写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
解：与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，
即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，
∴k取1，2，3.
当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；
当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；
当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
变式训练
3.下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′　　 B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
解：与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
B
变式训练
4.写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为
_____ ___．
解：
落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.
落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，
故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}
典型例题
例5 若α是第一象限角，则 是(　　)
A．第一象限角 B．第一、三象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
B
典型例题
例6 已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，
故该区域可表示为
{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
变式训练
5、角2016的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
C
解：2016°=5×360°+216°，
2016°角与216°角的终边相同，
而216°角是第三象限角，故2016°是第三象限角．
故选C．
变式训练
6、若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C
解：特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，
故180°－α在第三象限.
课堂小结
1.角的概念
2.角的表示
3.角的分类
4.象限角
5.终边相同的角