第三章 整式及其加减 4 合并同类项
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第三章 整式及其加减
4 合并同类项
考点知识清单
考点1 同类项的概念
例1 下列各题中的两个单项式是同类项的有哪些？
（1）ab2与； （2）－2x3y2与4x2y3； （3）pq与5p； （4）3pq3与－q3p；（5）3与（－1）2.
思路提示: （1）同类项只与字母及其指数有关.注意区分“相同字母的指数”与“单项式的次数”，如单项式x2y与xy2的次数相同，但字母x，y的指数却不相同.（2）两个单项式是不是同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.（3）所有的常数项都是同类项。
方法归纳
判断几个项是否为同类项有两个条件:一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同.同时具有这两个条件的项是同类项，缺一不可。
题组训练
1.下列各式中，是3a2b的同类项的是（ ）
A. 2x?y B. －2ab2 C. a2b D. 3ab
2.若－x3ym与xny是同类项，则m＋n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列各组中的两项是同类项的是（ ）
A. －m2n和mn2 B. 8zy2和－y2z C. －m2和3m D. 0.5a和0.5b
4.指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由
（1）－x?y与x?y；（2）23与－34；（3）2a3b2与3a2b3；（4）xyz与3xy.
考点2 合并同类项
例2 合并下列各式中的同类项
（1）3x3＋x3；（2）4x2－8x＋5－3x2＋6x-2；（3）xy2－xy2；
（4）4a2＋3b2＋2ab－4a2－3b2
思路提示: 首先要准确识别同类项，然后分别把其系数相加，最后进行合并即可。
方法技巧
1.合并同类项法则:合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
2.合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”“一相加”是指把各同类项的系数相加；“两不变”是指字母不变，字母的指数不变。
3.根据合并同类项法则，我们在进行合并同类项时，应按照下列步骤进行:一“找”，即找出各同类项；二“合”，即利用合并同类项法则进行合并同类项；三“写”，即写出合并后的结果。
题组训练
5.计算－2ab＋3ab的结果是（ ）
A. ab B. －ab C. －a2b2 D. －5ab
6.下列计算正确的是（ ）
A. 8x＋4＝12x B. 4y－4＝y C. 4y－3y＝y D. 3x－x＝3
7.合并同类项
（1）4a2＋3b2－2ab－3a2－5b2； （2）3xy2－5xy＋0.5x2y－3xy2－4.5x2y。
考点3 多项式的次数
例3 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么，最高次项的系数是什么，常数项是多少。
（1）7x2－3x2y－y3＋6x－3y2＋1； （2）10x＋y3－0.5.
思路提示: （1）多项式的次数即最高次项的次数，常数项即为不含字母的项；（2）识别多项式为几次几项式时，首先要确定多项式中无同类项可合并。
方法归纳
1.不能再合并同类项的多项式的项数是由该多项式的单项式的个数确定的，有几个单项式就有几项。
2.判断多项式的次数就要对多项式中每一个单项式的次数进行判断比较，次数最高项的次数即多项式的次数。
题组训练
8.多项式xy2＋xy＋1是（ ）
A.二次二项式 B.二次三项式 C.三次二项式 D.三次三项式
9.多项式2x2＋4x3－3是________次________项式，常数项是_________________。
10.指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次几项式
（1）x4－x2－1；（2）－3a2－3b2＋1；（3）－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1
提分突破
A 基础巩固
1.与a2b是同类项的是（ ）
A. 2ab B. －ab C. D. πa2b
2.下面不是同类项的是（ ）
A.－2与12 B.2m与2n C.－2a2b与a2b D.－x2y2与12x2y2
3.计算－a2＋3a2的结果为（ ）
A. 2a2 B. －2a2 C. 4a2 D. －4a2
4.下面合并同类项正确的是（ ）
A.3x＋2x2＝5x3 B.2a2b－a2b＝1 C.－ab－ab＝0 D.－y2x＋xy2＝0
5.已知2x6y2和－3x3myn是同类项，则2m＋n的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
6.多项式3x?－2xy?－y－1是（ ）
A.三次四项式 B.三次三项式 C.四次四项式 D.四次三项式
7.多项式2－3xy＋4xy?的次数及最高项的系数分别是（ ）
A.2，－3 B.－3，4 C.3，4 D.3，－3
8.若2x6y?与－x3myn是同类项，则m＝___________，n___________。
9.若－4xmy?与2ynx?是同类项，则m－n＝_____________。
10.若5x2yn－8xmy3＝－3x2y3，则m＝__________， n＝_____________。
11.下列各题中的两项是否为同类项？为什么？
（1）a2和2a2； （2）－3x2和15x2； （3）－25xy和32xy；
（4）2m3和12m2； （5）－2和12； （6）12xy和12x。
12.合并同类项:
（1）7a＋3a2＋2a－a2＋3； （2）3a＋2b－5a－b； （3）－4ab＋8－2b2－9ab－8。
13.下列整式哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？
7h，xy3＋1，2ab＋6，x－by3。
B 综合运用
14.若3xmy3与－x2yn是同类项，则（－m）n等于（ ）
A. 6 B. －6 C. 8 D. －8
15.下列各组单项式中，是同类项的有（ ）
①π与－5；②n与3n；③x?y与－；④与；⑤－8ab?与5b?c；⑥25abc与－18ab.
1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
16.已知单项式3xa＋1y4与－2yb－2x3是同类项，则下列单项式，与它们属于同类项的是（ ）A. －5xb－3y4 B. 3xby4 C. xay4 D. －xayb＋1
17.多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2合并同类项后所得的结果是（ ）
A. 二次二项式 B. 二次三项式 C. 一次二项式 D. 单项式
18.已知两个单项式－2a2bm＋1与na2b4的和为0，则m＋n的值是____________。
19.若－3x4b－1y4＋2x3y2－a＝－x3y4，则a＋b＝____________。
20.若＝0，试问:单项式4a2bm＋n－1与a2m－n＋1b4是否是同类项？
21.多项式a2－kab＋3b2－4ab＋6合并同类项后不含ab项，求k的值.
22.已知是关于x，y的七次三项式，求a2－2a＋1的值。
C 拓展探究
23.已知多项式xm＋1y2＋2xy2－4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5－m的次数与该多项
式的次数相同，求（－m）3＋2n的值.
24.对于代数式2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是:当k
为何值时，代数式中不含xy项；第二个问题是:在第一问的前提下，如果x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧
（2）在做第二个问题时，马小虎同学把y＝－1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
参考答案
考点1
例1 解:（1）（4）（5）是同类项
题组训练
1.C 2.D 3.B
4.解:（1）符合同类项的定义，是同类项；（2）符合同类项的定义，是同类项；（3）2a3b2与3a2b3虽然所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，故它们不是同类项；（4）xyz与3xy所含的字母不相同，故它们不是同类项.
考点2
例2 解:（1）原式＝（3＋1）x3＝4x3；
（2）原式＝（4x2－3x2）＋（－8x＋6x）＋（5－2）＝x2－2x＋3；
（3）原式＝（1－）xy2＝＝xy2；
（4）原式＝（4a2－4a2）＋（3b2－3b2）＋2ab＝2ab。
题组训练
5.A 6.C
7.解:（1）原式＝a2－2b2－2ab；（2）原式＝－5xy－4x2y
考点3
例3 解:（1）该多项式是四次六项式，最高次项是－3x3y，它的系数是－3，常数项是1；
（2）该多项式是三次三项式，最高次项是y3，它的系数是1，常数项是－0.5.
题组训练
8.D 9.三，三，－3
10.解:（1）x4－x2－1的项是x4，－x2，－1，次数是4，是四次三项式；（2）－3a?－3b2＋1的项是－3a2，－3b2，1，次数是2，是二次三项式；（3）－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1的项是－2x6，x5y2，－x2y5，－2xy3，1，次数是7，是七次五项式.
【提分突破】
A 基础巩固
1，D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7C
8.2，2 9.－1 10.2，3
11.解:（1）a2和2a2所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（2）－3x2和15x2所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（3）－25xy和32xy所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（4）2m3和12m2所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项；
（5）所有常数项都是同类项，故－2和12是同类项；
（6）12xy和12x所含字母不相同，不是同类项.
12.解:（1）原式＝2a2＋9a＋3；（2）原式＝－2a＋b；（3）原式＝－-2b2－13ab.
13.解:单项式有7h，次数是1，多项式有xy3＋1，2ab＋6，x－by3，次数分别是4、2、4.
B 综合运用
14.D 15.C 16.A 17.D
18.5 19.－1
20.解:由题意得，m－2＝0，－1＝0，解得m＝2，n＝3，则单项式4a2bm＋n－1为4a2b4，a2m－n＋1b4是a2b4，所以单项式4a2bm＋n－1与a2m－n＋1b4是同类项。
21.解:a2－kab＋3b2－4ab＋6＝a2＋3b2－(k＋4)ab＋6，由题意得k＋4＝0，解得k＝－4.
22.解:因为是关于x，y的七次三项式，所以3＋｜a｜＝7且a－4≠0，
解得a＝－4，故a2－2a＋1＝（a－1）2＝25。
C 拓展探究
23.解:由于多项式是六次四项式，所以m＋1＋2＝6，解得m＝3，单项式26x2ny5－m应为26x2ny2，由题意可知:2n＋2＝6，解得n＝2，所以（－m）?＋2n＝（－3）3＋2×2＝－23.
24.解:（1）因为2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2＝（2x2＋x2）＋（3y2＋5y2）＋（7xy－kxy）＝3x2＋8y2＋（7－k）xy，所以只要7－k＝0，这个代数式就不含xy项即k＝7时，代数式中不含xy项.
（2）因为在第一问的前提下原代数式为:3x2＋8y2.当x＝2，y＝－1时，原式＝3x2＋8y2＝3×2＋8×（－1）2＝12＋8＝20.当x＝2，y＝1时，原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×12＝12＋8＝20.所以马小虎的最后结果是正确的.
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第三章 整式及其加减
4 合并同类项
考点知识清单
考点1 同类项的概念
例1 下列各题中的两个单项式是同类项的有哪些？
（1）ab2与； （2）－2x3y2与4x2y3； （3）pq与5p； （4）3pq3与－q3p；（5）3与（－1）2.
思路提示: （1）同类项只与字母及其指数有关.注意区分“相同字母的指数”与“单项式的次数”，如单项式x2y与xy2的次数相同，但字母x，y的指数却不相同.（2）两个单项式是不是同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.（3）所有的常数项都是同类项。
方法归纳
判断几个项是否为同类项有两个条件:一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同.同时具有这两个条件的项是同类项，缺一不可。
题组训练
1.下列各式中，是3a2b的同类项的是（ ）
A. 2x?y B. －2ab2 C. a2b D. 3ab
2.若－x3ym与xny是同类项，则m＋n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列各组中的两项是同类项的是（ ）
A. －m2n和mn2 B. 8zy2和－y2z C. －m2和3m D. 0.5a和0.5b
4.指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由
（1）－x?y与x?y；（2）23与－34；（3）2a3b2与3a2b3；（4）xyz与3xy.
考点2 合并同类项
例2 合并下列各式中的同类项
（1）3x3＋x3；（2）4x2－8x＋5－3x2＋6x-2；（3）xy2－xy2；
（4）4a2＋3b2＋2ab－4a2－3b2
思路提示: 首先要准确识别同类项，然后分别把其系数相加，最后进行合并即可。
方法技巧
1.合并同类项法则:合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
2.合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”“一相加”是指把各同类项的系数相加；“两不变”是指字母不变，字母的指数不变。
3.根据合并同类项法则，我们在进行合并同类项时，应按照下列步骤进行:一“找”，即找出各同类项；二“合”，即利用合并同类项法则进行合并同类项；三“写”，即写出合并后的结果。
题组训练
5.计算－2ab＋3ab的结果是（ ）
A. ab B. －ab C. －a2b2 D. －5ab
6.下列计算正确的是（ ）
A. 8x＋4＝12x B. 4y－4＝y C. 4y－3y＝y D. 3x－x＝3
7.合并同类项
（1）4a2＋3b2－2ab－3a2－5b2； （2）3xy2－5xy＋0.5x2y－3xy2－4.5x2y。
考点3 多项式的次数
例3 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么，最高次项的系数是什么，常数项是多少。
（1）7x2－3x2y－y3＋6x－3y2＋1； （2）10x＋y3－0.5.
思路提示: （1）多项式的次数即最高次项的次数，常数项即为不含字母的项；（2）识别多项式为几次几项式时，首先要确定多项式中无同类项可合并。
方法归纳
1.不能再合并同类项的多项式的项数是由该多项式的单项式的个数确定的，有几个单项式就有几项。
2.判断多项式的次数就要对多项式中每一个单项式的次数进行判断比较，次数最高项的次数即多项式的次数。
题组训练
8.多项式xy2＋xy＋1是（ ）
A.二次二项式 B.二次三项式 C.三次二项式 D.三次三项式
9.多项式2x2＋4x3－3是________次________项式，常数项是_________________。
10.指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次几项式
（1）x4－x2－1；（2）－3a2－3b2＋1；（3）－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1
提分突破
A 基础巩固
1.与a2b是同类项的是（ ）
A. 2ab B. －ab C. D. πa2b
2.下面不是同类项的是（ ）
A.－2与12 B.2m与2n C.－2a2b与a2b D.－x2y2与12x2y2
3.计算－a2＋3a2的结果为（ ）
A. 2a2 B. －2a2 C. 4a2 D. －4a2
4.下面合并同类项正确的是（ ）
A.3x＋2x2＝5x3 B.2a2b－a2b＝1 C.－ab－ab＝0 D.－y2x＋xy2＝0
5.已知2x6y2和－3x3myn是同类项，则2m＋n的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
6.多项式3x?－2xy?－y－1是（ ）
A.三次四项式 B.三次三项式 C.四次四项式 D.四次三项式
7.多项式2－3xy＋4xy?的次数及最高项的系数分别是（ ）
A.2，－3 B.－3，4 C.3，4 D.3，－3
8.若2x6y?与－x3myn是同类项，则m＝___________，n___________。
9.若－4xmy?与2ynx?是同类项，则m－n＝_____________。
10.若5x2yn－8xmy3＝－3x2y3，则m＝__________， n＝_____________。
11.下列各题中的两项是否为同类项？为什么？
（1）a2和2a2； （2）－3x2和15x2； （3）－25xy和32xy；
（4）2m3和12m2； （5）－2和12； （6）12xy和12x。
12.合并同类项:
（1）7a＋3a2＋2a－a2＋3； （2）3a＋2b－5a－b； （3）－4ab＋8－2b2－9ab－8。
13.下列整式哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？
7h，xy3＋1，2ab＋6，x－by3。
B 综合运用
14.若3xmy3与－x2yn是同类项，则（－m）n等于（ ）
A. 6 B. －6 C. 8 D. －8
15.下列各组单项式中，是同类项的有（ ）
①π与－5；②n与3n；③x?y与－；④与；⑤－8ab?与5b?c；⑥25abc与－18ab.
1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
16.已知单项式3xa＋1y4与－2yb－2x3是同类项，则下列单项式，与它们属于同类项的是（ ）A. －5xb－3y4 B. 3xby4 C. xay4 D. －xayb＋1
17.多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2合并同类项后所得的结果是（ ）
A. 二次二项式 B. 二次三项式 C. 一次二项式 D. 单项式
18.已知两个单项式－2a2bm＋1与na2b4的和为0，则m＋n的值是____________。
19.若－3x4b－1y4＋2x3y2－a＝－x3y4，则a＋b＝____________。
20.若＝0，试问:单项式4a2bm＋n－1与a2m－n＋1b4是否是同类项？
21.多项式a2－kab＋3b2－4ab＋6合并同类项后不含ab项，求k的值.
22.已知是关于x，y的七次三项式，求a2－2a＋1的值。
C 拓展探究
23.已知多项式xm＋1y2＋2xy2－4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5－m的次数与该多项
式的次数相同，求（－m）3＋2n的值.
24.对于代数式2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是:当k
为何值时，代数式中不含xy项；第二个问题是:在第一问的前提下，如果x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧
（2）在做第二个问题时，马小虎同学把y＝－1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
参考答案
考点1
例1 解:（1）（4）（5）是同类项
题组训练
1.C 2.D 3.B
4.解:（1）符合同类项的定义，是同类项；（2）符合同类项的定义，是同类项；（3）2a3b2与3a2b3虽然所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，故它们不是同类项；（4）xyz与3xy所含的字母不相同，故它们不是同类项.
考点2
例2 解:（1）原式＝（3＋1）x3＝4x3；
（2）原式＝（4x2－3x2）＋（－8x＋6x）＋（5－2）＝x2－2x＋3；
（3）原式＝（1－）xy2＝＝xy2；
（4）原式＝（4a2－4a2）＋（3b2－3b2）＋2ab＝2ab。
题组训练
5.A 6.C
7.解:（1）原式＝a2－2b2－2ab；（2）原式＝－5xy－4x2y
考点3
例3 解:（1）该多项式是四次六项式，最高次项是－3x3y，它的系数是－3，常数项是1；
（2）该多项式是三次三项式，最高次项是y3，它的系数是1，常数项是－0.5.
题组训练
8.D 9.三，三，－3
10.解:（1）x4－x2－1的项是x4，－x2，－1，次数是4，是四次三项式；（2）－3a?－3b2＋1的项是－3a2，－3b2，1，次数是2，是二次三项式；（3）－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1的项是－2x6，x5y2，－x2y5，－2xy3，1，次数是7，是七次五项式.
【提分突破】
A 基础巩固
1，D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7C
8.2，2 9.－1 10.2，3
11.解:（1）a2和2a2所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（2）－3x2和15x2所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（3）－25xy和32xy所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（4）2m3和12m2所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项；
（5）所有常数项都是同类项，故－2和12是同类项；
（6）12xy和12x所含字母不相同，不是同类项.
12.解:（1）原式＝2a2＋9a＋3；（2）原式＝－2a＋b；（3）原式＝－-2b2－13ab.
13.解:单项式有7h，次数是1，多项式有xy3＋1，2ab＋6，x－by3，次数分别是4、2、4.
B 综合运用
14.D 15.C 16.A 17.D
18.5 19.－1
20.解:由题意得，m－2＝0，－1＝0，解得m＝2，n＝3，则单项式4a2bm＋n－1为4a2b4，a2m－n＋1b4是a2b4，所以单项式4a2bm＋n－1与a2m－n＋1b4是同类项。
21.解:a2－kab＋3b2－4ab＋6＝a2＋3b2－(k＋4)ab＋6，由题意得k＋4＝0，解得k＝－4.
22.解:因为是关于x，y的七次三项式，所以3＋｜a｜＝7且a－4≠0，
解得a＝－4，故a2－2a＋1＝（a－1）2＝25。
C 拓展探究
23.解:由于多项式是六次四项式，所以m＋1＋2＝6，解得m＝3，单项式26x2ny5－m应为26x2ny2，由题意可知:2n＋2＝6，解得n＝2，所以（－m）?＋2n＝（－3）3＋2×2＝－23.
24.解:（1）因为2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2＝（2x2＋x2）＋（3y2＋5y2）＋（7xy－kxy）＝3x2＋8y2＋（7－k）xy，所以只要7－k＝0，这个代数式就不含xy项即k＝7时，代数式中不含xy项.
（2）因为在第一问的前提下原代数式为:3x2＋8y2.当x＝2，y＝－1时，原式＝3x2＋8y2＝3×2＋8×（－1）2＝12＋8＝20.当x＝2，y＝1时，原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×12＝12＋8＝20.所以马小虎的最后结果是正确的.
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