九年级数学垂直于弦的直径

(共32张PPT)
连接圆上任意两点的线段叫做弦，
经过圆心的弦叫做直径．
圆上任意两点间的部分叫做圆弧
弧(半圆)
劣弧与优弧
等圆(同心圆)与等弧
弦(直径)
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
每一条弧都叫做半圆
圆
圆心为O，半径为r 的圆可以看成是:
所有到定点的距离等于定长r 的点的集合。
能够重合的两个圆叫做等圆
圆心相同的圆叫做同心圆
在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做等弧
2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？
可以发现：
1、圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
1.圆是轴对称图形吗
如果是，它的对称轴是什么？

2.它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题
A
B
A
B
C
D
思考： 问题1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果
有，你能找到多少对？
O
问题2.AB作怎样的变换时，
相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
结论：当CD⊥AB时，
AC=
BC,
AD=
BD
AC =
BC,
AD =
BD,
AC =
BD,
BC =
AD,
C
D
O
问题3.将弦AB进行平移时，如图
A
B
A
B
演 示
E
AC =
BC,
(1)右图是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧
(1)是轴对称图形,其对称轴是直线CD
(2) AE=BE,
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧。
垂直于弦
的直径
AD =
BD,
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦，CD⊥AB于E。
即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB
︵
︵
验证
⌒
∴当圆沿着直径CD折叠时, A点和B点重合，
AC、AD分别与BC、BD重合。
⌒
⌒
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⌒
⌒
已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
叠合法
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦AB的直径CD所在的直线
是⊙O的对称轴。
证明：
连结OA,OB
∵ CD⊥AB ,OA=OB
∴AE=BE
∵⊙O关于直径CD对称
AC =
BC,
AD =
BD,
∴
∴点A和点B关于CD对称.
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理:
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
O
E
D
C
B
A
结论：
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
AC=
BC,
AD=
BD
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且AE=BE则CD⊥AB，
AC=
BC,
AD=
BD
∵CD过圆心(CD为直径)，CD ⊥ AB，
∴AE=BE，
③AM=BM,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
可推得
垂径定理：
推论：
O
M
D
B
A
C
O
M
D
B
A
如何应用垂径定理：
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
练习
·
O
A
B
E
A
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
不是
是
不是
O
E
D
C
A
B
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的
弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD
OE就是
弦心距
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心
距是______
3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么
⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
·
O
C
D
A
B
E
5.已知⊙O的直径是20cm, ⊙O的两
条平行弦AB=12cm.CD=16cm,
则它们之间的距离______.
4
.
C
D
A
B
O
.
C
D
A
B
O
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
判断下列说法的正误
⑦垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
问题 ：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗
37.4m
7.2m
A
B
O
C
D
经过圆心O 作OC⊥AB 于D，
OC交AB 于点D，连接AO
R
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
18.7
R-7.2
∵∠ADO=90
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴OA2=AD2+OD2
解得：R≈27．9（m）
例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
4. 已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
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⌒
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⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
讲解
圆的两条平行弦所夹的弧相等
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
2. 垂径定理:
AC=
BC,
AD=
BD
∵CD过圆心，CD ⊥ AB，
∴AE=BE，
(2).几何语言
(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
1.圆是_________, __________________是它的对称轴
轴对称图形
任何一条直径在的直线
3.利用垂径定理时，常用辅助线是：
(1)连半径或作弦心距构造直角三角形
(2)作垂直于弦的直径
1、如图，AB是圆的弦，利用一个三角板，你能确定这条弦的中点吗？
2、如图，点C是圆的任意一个点，利用一个三角板，你能画出一条弦AB，使点刚好是这条弦的中点吗？
A
B
●
C
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
能与大家一起分享吗？
丰 收 园
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的( )
　②平分弦的直线必垂直弦 ( )
③垂直于弦的直径平分这条弦( )
④平分弦的直径垂直于这条弦( )
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( )
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( )
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧 ( )
Upper formation building
O
E
D
C
B
A
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且AE=BE则CD⊥AB，
AC=
BC,
AD=
BD
想一想：为什么规定弦AB不是直径？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
练习
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
2．如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
·
O
A
B
E
3.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
解决求赵州桥拱半径的问题
例2. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的
弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD
A
C
B
D
O
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心
距是______
3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么
⊙O的半径等于____，OM的长为_____
E
OE就是弦心距