一元二次方程复习课件
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(共37张PPT)
一元二次方程的概念
一元二次方程的解法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
用一元二次方程解决实际问题
一
元
二
次
方
程
复
习
只含有 的 ，并且都可以化 成
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式，
一.相关概念
例1.下列方程中，关于x的一元二次方程有：①x2=0 ，②ax2+bx+c=0，
③x2－3=x， ④a2+a－x=0，
⑤(m－1)x2+4x+ =0，⑥ + = ，
⑦ =2， ⑧(x+1)2=x2－9（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
A
例题欣赏
关于x的方程
是一元二次方程，则a=__________
认真想一想
【变式训练】
3
且
分析：
例2：已知方程 是关于x的一元二次方程，则m=__________
分析：
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
2. 把二次项系数化为1
3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。
4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
写出方程各项的系数
计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac﹤0，则此方程没有实数根 。
当b2-4ac≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
4. 因式分解法
移项，使方程的右边为0。
利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
例1、下列方程应选用哪种方法求解
(1) x2=0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例题欣赏
例2、用不同的方法解方程
x -6=5x
一元二次方程根的判别式
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程 根的判式是:
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
三、
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1）
（3）
（2）
解：（1） =
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。
1、不解方程，判别方程的根的情况
例题欣赏
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；
解：△=
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围
K＜
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根
∴
解得：
∵m为非负数
∴m=0或m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.
例4、求证：关于x的方程：
有两个不相等的实根。
证明：
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。
无论m取任何实数都有：
即：△>0
3、证明方程根的情况
说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况
四、一元二次方程根与系数的关系
以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
x1 · x2
x1 + x2
一元二次方程
5
6
解：设方程的另一个根为x1，那么
例题欣赏
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
例题欣赏
五.实际问题
面积问题
动点运动问题
增长率问题
商品利润问题
例1、泉生中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2求出设计方案中道路的宽分别为多少米？
32
20
答：道路宽为1米。
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
长方形面积=长×宽
解：设道路宽为 m,则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：
解得 （不合题意舍去）
例题欣赏
分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
答：道路宽为2米。
32
20
解：设道路的宽为 米，根据题意得，
化简，得
解得 1＝2， 2＝50（不合题意舍去）
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
32
20
解：设道路宽为 m，则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：
例2： 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.
3）常找的数量关系——面积，勾股定理，相似三角形等；
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
A
B
C
P
Q
8m
6m
解：设 秒后后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半
根据题意，得方程：
（8- ）（6- ）=
8
6
解这个方程，得：
（不合题意，舍去）
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半。
例2：在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后 △ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后 △ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得
整理，得
解这个方程，得
所以2秒或4秒后△ PBQ的面积等于8cm2
95年的数量为A，97年的数量为B，经过两个时间单位，求增长率x。
A
95年
A(1+x)
96年
A(1+x)2
97年
A(1+x)2
=
B
增长率问题
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
基数 平均增长率 年底数量
去年 5
今年 5 x 5(1+x)
明年 5(1+x) x 5(1+x)(1+x)
=5(1+x)2.
分析:
相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.2万册.
例题欣赏
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
例题欣赏
例2：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
驶向胜利的彼岸
有关利润的知识基本知识
商品利润=售价-进价；
例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
例题欣赏
例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
例题欣赏
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么 已,未知之间有什么关系
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
解方程
配方法
公式法
因式分解法
降
次
数学问题的解
检 验
实际问题的答案
本章知识结构图
一元二次方程的概念
一元二次方程的解法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
用一元二次方程解决实际问题
一
元
二
次
方
程
复
习
只含有 的 ，并且都可以化 成
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式，
一.相关概念
例1.下列方程中，关于x的一元二次方程有：①x2=0 ，②ax2+bx+c=0，
③x2－3=x， ④a2+a－x=0，
⑤(m－1)x2+4x+ =0，⑥ + = ，
⑦ =2， ⑧(x+1)2=x2－9（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
A
例题欣赏
关于x的方程
是一元二次方程，则a=__________
认真想一想
【变式训练】
3
且
分析：
例2：已知方程 是关于x的一元二次方程，则m=__________
分析：
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
2. 把二次项系数化为1
3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。
4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
写出方程各项的系数
计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac﹤0，则此方程没有实数根 。
当b2-4ac≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
4. 因式分解法
移项，使方程的右边为0。
利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
例1、下列方程应选用哪种方法求解
(1) x2=0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例题欣赏
例2、用不同的方法解方程
x -6=5x
一元二次方程根的判别式
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程 根的判式是:
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
三、
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1）
（3）
（2）
解：（1） =
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。
1、不解方程，判别方程的根的情况
例题欣赏
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；
解：△=
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即
(2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围
K＜
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根
∴
解得：
∵m为非负数
∴m=0或m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.
例4、求证：关于x的方程：
有两个不相等的实根。
证明：
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。
无论m取任何实数都有：
即：△>0
3、证明方程根的情况
说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况
四、一元二次方程根与系数的关系
以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
x1 · x2
x1 + x2
一元二次方程
5
6
解：设方程的另一个根为x1，那么
例题欣赏
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
例题欣赏
五.实际问题
面积问题
动点运动问题
增长率问题
商品利润问题
例1、泉生中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2求出设计方案中道路的宽分别为多少米？
32
20
答：道路宽为1米。
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
长方形面积=长×宽
解：设道路宽为 m,则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：
解得 （不合题意舍去）
例题欣赏
分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
答：道路宽为2米。
32
20
解：设道路的宽为 米，根据题意得，
化简，得
解得 1＝2， 2＝50（不合题意舍去）
设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2
32
20
解：设道路宽为 m，则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：
例2： 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.
3）常找的数量关系——面积，勾股定理，相似三角形等；
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
A
B
C
P
Q
8m
6m
解：设 秒后后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半
根据题意，得方程：
（8- ）（6- ）=
8
6
解这个方程，得：
（不合题意，舍去）
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半。
例2：在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后 △ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后 △ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得
整理，得
解这个方程，得
所以2秒或4秒后△ PBQ的面积等于8cm2
95年的数量为A，97年的数量为B，经过两个时间单位，求增长率x。
A
95年
A(1+x)
96年
A(1+x)2
97年
A(1+x)2
=
B
增长率问题
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
基数 平均增长率 年底数量
去年 5
今年 5 x 5(1+x)
明年 5(1+x) x 5(1+x)(1+x)
=5(1+x)2.
分析:
相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.2万册.
例题欣赏
例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
例题欣赏
例2：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
驶向胜利的彼岸
有关利润的知识基本知识
商品利润=售价-进价；
例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
例题欣赏
例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
例题欣赏
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么 已,未知之间有什么关系
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
解方程
配方法
公式法
因式分解法
降
次
数学问题的解
检 验
实际问题的答案
本章知识结构图