2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第22章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）
A．
B．
C．
D．3
2．已知＝＝＝，若b+d+f＝9，则a+c+e＝（　　）
A．12
B．15
C．16
D．18
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD：AB＝1：3，则△ADE与四边形DECB面积之比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：8
D．1：9
5．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B做BD⊥AB，使；连接DA，在DA上取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．点C即为线段AB的黄金分割点，若BD＝2，则BC的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝4，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（　　）
A．1.5
B．2
C．4.5
D．5
7．若线段2cm，4cm，x，10cm成比例，则x等于（　　）
A．
cm
B．20cm
C．5cm
D．8cm
8．下列说法正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为　
　．
12．已知＝，则＝　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝，BD＝2，则AC＝　
　．
14．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（3，6），则其对应点A1的坐标是　
　．
15．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝　
　cm．
16．有一个长60米、宽45米的长方形操场，把它按1：500的比例尺画在图纸上，长应画　
　厘米，宽应画　
　厘米．
17．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是　
　．（填写序号）
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有　
　条．
19．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长　
　米．
20．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　
　．
三．解答题
21．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
22．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
23．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
24．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．
（1）当点P和点B重合的时候，求证：；
（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．
25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
26．如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
27．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．
2．解：∵＝＝＝，
∴＝，
∵b+d+f＝9，
∴a+c+e＝12；
故选：A．
3．解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
4．解：∵△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴S△ADE：S四边形DBCE＝1：8．
故选：C．
5．解：∵BD⊥AB，，BD＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵DE＝BD＝2，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
∴BC＝AB﹣AC＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2；
故选：B．
6．解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝4，CE＝2，BD＝3，
∴，
∴BF＝4.5，
故选：C．
7．解：根据题意得：＝，
解得x＝5cm．
故选：C．
8．解：A、两个顶角或底角相等等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等边三角形一定相似，故本选项符合题意；
C、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴＝＝，＝（）2＝，
∴选项C正确，选项D错误，
∵无法确定，的值，故选项A，B错误，
故选：C．
10．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB：BC＝5：3，DE＝15，
∴＝，
解得，EF＝9，
故答案为：9．
12．解：设＝＝k，则a＝4k，b＝3k，
∴＝＝；
故答案为：．
13．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
由射影定理得，CD2＝AD?BD，
∴AD＝＝，
∴AB＝AD+BD＝，
由射影定理得，AC＝＝＝，
故答案为：．
14．解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，点A的坐标为（3，6），
∴点A1的坐标是（3×3，6×3）或（﹣3×3，﹣6×3），即（9，18）或（﹣9，﹣18），
故答案为：（9，18）或（﹣9，﹣18）．
15．解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，
∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，
故答案为：（3﹣3）．
16．解：根据图上距离＝实际距离×比例尺，可知
图上长：60×＝0.12（米），
0.12米＝12厘米，
图上宽：45×＝0.09（米），
0.09米＝9厘米．
故答案为：12，9．
17．解：①两个等腰三角形相似，错误．
②两个等边三角形相似，正确．
③两个等腰直角三角形相似，正确．
④两个正方形相似，正确．
⑤两个等腰梯形相似，错误．
故答案为：②③④．
18．解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
19．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
20．解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜8；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤8；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此时，6≤AP＜8；
综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8．
故答案为：6≤AP＜8．
三．解答题
21．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
22．解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
23．解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．
24．证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，
∴△FQE∽△DPE，
∴＝，
又∵QE＝EP，
∴BD＝FQ，EF＝DE，
∵QF∥CD，
∴△AFQ∽△ADC，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，
∴QF∥PH，
∴△FQE∽△HPE，
∴，
又∵QE＝EP，
∴PH＝FQ，EF＝HE，
∵FQ∥BC，
∴△AQF∽△ACD，
∴，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABD，
∴，
∴＝＝＝．
25．解：（1）设∠B＝x，
∵BD＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，
∵AC＝DC，
∴∠A＝∠ADC＝2x，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴x+2x＝108°，解得x＝36°，
即∠B的度数为36°；
（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．
理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，
∴△DBC为黄金三角形；
∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，
而∠A＝2×36°＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
而∠B＝36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，
而CA＝CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴＝，
而BC＝2，
∴AC＝﹣1，
∴CD＝CA＝﹣1，
∴BD＝CD＝﹣1，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
26．（1）证明：∵NM上BC，NP上MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴＝，
∵MN∥M′N′，
∴＝，
∴＝，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积＝1.5，
∴AB?AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC＝＝2.5，
∵BC?AD＝1.5，
∴AD＝＝，
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即PN的长为m．
27．证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．