2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第23章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanB值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（　　）
A．不变
B．扩大5倍
C．缩小5倍
D．不能确定
3．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了2m，此时小球距离地面的高度为（　　）
A．5m
B．2m
C．2m
D．
m
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（　　）
A．15°
B．45°
C．30°
D．60°
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
8．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L?cosα，阻力臂L2＝l?cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（　　）
A．越来越小
B．不变
C．越来越大
D．无法确定
9．如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（　　）
A．28km
B．14km
C．7km
D．14km
10．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（　　）
A．30°＜α＜80°
B．10°＜α＜80°
C．60°＜α＜80°
D．10°＜α＜60°
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA＝　
　．
12．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了　
　平方米．
13．已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝　
　°．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为　
　．
15．比较大小：sin81°　
　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
16．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　
　米（结果保留根号）．
17．已知a为锐角，且tanα﹣，则sinα?cosα＝　
　．
18．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC＝10m，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是　
　．
19．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于　
　．
20．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行　
　海里就开始有触礁的危险．
三．解答题
21．（1）计算﹣6+
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，试证明：sin2A+cos2A＝1．
22．计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．
23．李老师为了准备网课直播，购买了一个三脚架，如图①所示，图②为其截面示意图．测得OC＝OD＝60cm，AO＝100cm，∠COB＝∠DOB＝32°．求点A到地面CD的高度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62．）
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
25．今年第16号台风“浪卡”已经于10月13日在海南琼海市登录．台风来袭时，某绿化带一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
26．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
27．（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解直角三角形．
（2）已知△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝3，求AC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，
∴sin2A+cos2B＝1，
∴cosB＝＝，
∴tanB＝＝＝．
故选：A．
2．解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：A．
3．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设AC＝2k，BC＝k，
则AB＝＝k，
∴sinB＝＝＝．
故选：D．
4．解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
5．解：∵AB＝2m，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即（2）2＝x2+4x2，
解得：x＝2，
故小球距离地面的高度为2m．
故选：C．
6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
故选：D．
7．解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝＝；
故选：B．
8．解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，
又∵动力臂L1＝L?cosα，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
9．解：根据题意可知：
∠MAB＝90°﹣55°＝35°，
∠ABM＝90°+20°＝110°，
∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴BM＝AB＝28×＝14（km）．
所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．
故选：B．
10．解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∴sinA＝＝．
故答案为．
12．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，
∴＝0.75，
解得，BC＝3，
∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，
∴CD＝8，
∴BD＝DC﹣BC＝5，
∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），
故答案为：10．
13．解：∵2sinα﹣＝0，即sinα＝，
∴α＝45°，
故答案为：45．
14．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设AC＝12k，BC＝5k，
则AB＝＝13k，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
15．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
16．解：在Rt△ADM中，
∵AM＝4，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM＝4，
∵AB＝8，
∴MB＝AM+AB＝12，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴MC＝MBtan30°＝4，
∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）
答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，
故答案为：（4﹣4）．
17．解：∵tanα﹣，
∴（tanα+）2＝（tanα﹣）2+4tanα?＝（）2+4＝25．
∵a为锐角，
∴tanα+＞0．
∴tanα+＝5．
∴sinα?cosα＝＝＝．
故答案是：．
18．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10m，
∴DC＝BD＝5m，
在Rt△ABD中，∠B＝36°，
∴tan36°＝，
∴AD＝BD?tan36°＝5tan36°m．
故答案为：5tan36°m．
19．解：作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵，
∴，
解得AE＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故答案为：．
20．解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
三．解答题
21．（1）解：原式＝3﹣2+2＝3；
（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，
∴a2+b2＝c2．
∵sinA＝，cosA＝，
∴sin2A+cos2A＝+＝＝＝1．
即sin2A+cos2A＝1．
22．解：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°＝44.5．
23．解：如图所示：延长OB交DC与点E，
∵OC＝OD＝60cm，∠COB＝∠DOB＝32°，
∴AO⊥CD，
∴cos32°＝＝，
解得：OE＝60×0.85＝51（cm），
则AO+EO＝100+51＝151（cm）．
答：点A到地面CD的高度约为151cm．
24．解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
25．解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．
在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∴cos37°＝，
∴DE≈4，
∵sin37°＝≈0.6，
∴AE≈3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
26．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．
27．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵tanA＝，
∴＝，
∴AC＝3，
∴AB＝＝2，
∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝2；
（2）如图1，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∵AB＝4，∠A＝45°，
∴AD＝BD＝sin45°×AB＝×4＝2，
在Rt△BCD中，
CD＝＝1，
∴AC＝AD+CD＝2+1，
如图2，AC＝AD﹣CD＝2﹣1，
故AC的长为2+1或2﹣1．