2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第13章
三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB边上的高为（　　）
A．CG
B．BF
C．BE
D．AD
2．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，5
B．8，6，15
C．13，12，25
D．7，2，3
3．用反证法证明“a≥b”时应先假设（　　）
A．a≤b
B．a＞b
C．a＜b
D．a≠b
4．下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法：
（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；
（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；
（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；
（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．
其中正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S△BDC的最大值为（　　）
A．10
B．15
C．12
D．14
7．如图，△ABC的外角∠CAE为115°，∠C＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．55°
B．45°
C．35°
D．30°
8．下列命题中是真命题的有（　　）
①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；
④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；
⑤因为＝5，所以＝a．
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
9．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（　　）
A．∠B＝∠D
B．∠1＝∠A+∠D
C．∠2＞∠D
D．∠C＝∠D
10．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初二（8）班举办了“乐知杯古诗词”大赛．现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（不并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法正确的是（　　）
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小璟
a
a
26
小桦
a
b
c
11
小花
b
b
11
A．小璟可能有一轮比赛获得第二名
B．小桦有三轮比赛获得第三名
C．小花可能有一轮比赛获得第一名
D．每轮比赛第一名得分a为5
二．填空题
11．如图，图中以BC为边的三角形的个数为　
　．
12．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　
　cm．
13．已知在锐角△ABC中，∠A＝50°，AB＞BC．则∠B的取值范围是　
　．
14．一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么∠α＝　
　°．
15．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　
　三角形．
16．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝5，CE＝4，AB＝8，则BC的长是　
　．
17．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设　
　．
18．已知三角形三边长为5，4，k，则k的取值范围是：　
　．
19．命题“如果一个整数能被3整除，那么这个数也能被6整除”是　
　（填“真”或“假”）命题，如果是假命题，举一反例为　
　．
20．某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目
思想品德
历史
地理
选考人数（人）
20
13
18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有　
　人；该班至少有学生　
　人．
三．解答题
21．在△ABC中，若BC＝8，AC＝6，求AB的取值范围．
22．判断命题“一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形”真假，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请修改其中一个条件使其变成真命题（一个即可）并请写出证明过程．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
23．已知：△ABC的周长为24cm，三边长a，b，c满足a：b＝3：4，c＝2a﹣b，求△ABC的三边长．
24．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
25．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠ADE和∠DAE的度数．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数．
27．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，﹣a），点B的坐标为（b，c），其中a，b，c满足，
（1）若数a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由；
（2）若点A到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍，求点B的坐标；
（3）若点D的坐标为（2，﹣4），三角形OAB的面积是三角形DAB面积的3倍，求点B的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在△ABC中，AB边上的高为CG，
故选：A．
2．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；
B中，8+6＝14＜15，不能组成三角形；
C中，13+12＝25，不能够组成三角形；
D中，2+3＝5＜7，不能组成三角形．
故选：A．
3．解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b．
故选：C．
4．解：根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类．
故选：C．
5．解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原命题是真命题；
（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；
（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原命题是假命题；
（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；
故选：A．
6．解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．
故选：A．
7．解：∵∠B+∠C＝∠CAE，
∴∠B＝∠CAE﹣∠C，
∵∠CAE＝115°，∠C＝80°，
∴∠B＝115°﹣80°＝35°，
故选：C．
8．解：①两个角的和等于平角时，这两个角不一定互为邻补角，原命题是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，是真命题；
④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，是真命题；
⑤因为＝5，所以＝a或﹣a，原命题是假命题．
故选：A．
9．解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
10．解：由题可知：（a+b+c）×6＝26+11+11＝48，其中a＞b＞c且a，b，c均为正整数．
∴a+b+c也是正整数，
∴a+b+c＝8．
∵若每轮比赛第一名得分a为4，则甲最后得分最高为：4×6＝24＜26，
∴a＞4，
∵又a＞b＞c，b+c最小取3，
∴4＜a＜6．
∴a＝5，b＝2，c＝1，
∴每轮比赛第一名得分a为5，小璟5轮得第一，1轮得第三；小桦4轮得第三，1轮得第一，1轮得第二；小花5轮得第二，1轮得第三．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
12．解：△ACD的周长为27cm，
∴AC+DC+AD＝27cm，
∵AC＝9cm，
∴AD+CD＝18cm，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝18cm，
∵AB＝12cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴△ABD的周长为30cm，
故答案为：30，
13．解：如图，当BC最短时，∠ABC＝40°，
现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C1，
当BC1的长等于AB时，∠ABC1＝80°，
所以40°＜∠B＜80°．
故答案为：40°＜∠B＜80°．
14．解：由图可知，
∠B＝30°，∠ECD＝45°，
故∠α＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
15．解：∵三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角．
16．解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴S△ACB＝CB?AD＝AB?CE，
∵AD＝5，CE＝4，AB＝8，
∴×BC×5＝，
解得：BC＝6.4，
故答案为：6.4．
17．解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，
首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
故答案为：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
18．解：∵三角形三边长为5，4，k，
∴5﹣4＜k＜5+4
即：1＜k＜9，
故答案为：1＜k＜9．
19．解：如果一个整数能被3整除，那么这个数也能被6整除，是假命题，
如9能被3整除，但9不能被6整除，
故答案为：假，9（答案不唯一）．
20．解：思想品德共有20人选择，其中选历史的有3人，所以选思想品德而没有选历史的有17人；
根据题意可以列表为：
所以该班选了思想品德而没有选历史的有17人；该班至少有学生30人．
故答案为：17，30．
三．解答题
21．解：∵一在△ABC中，BC＝8，AC＝6，
∴第三边AB的范围是：2＜AB＜14．
故答案为：2＜AB＜14．
22．解：命题“一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题，
修改后的真命题为：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△DAC和△BCA中，
，
∴△DAC≌△BCA（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
23．解：由题意得，
解得：．
故△ABC的三边长为8cm，
cm，
cm．
24．解：（1）∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝8cm．
∵AD是BC边上的中线，
∴．
（2）不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15＜AB＝18，
∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．
25．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝80°，
∵AE是高，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
26．解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°；
（2）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣35°＝15°．
27．解：（1）∵a没有平方根，
∴a＜0，
∴﹣a＞0，
∴点A在第二象限；
（2）解方程组，用a表示b、c得b＝﹣a+4，c＝﹣a，
∴B点坐标为（4﹣a，﹣a），
∵点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，
∴|﹣a|＝2|4﹣a|，
当a＝2（4﹣a），解得a＝，此时B点坐标为（，﹣）；
当a＝﹣2（4﹣a），解得a＝8，此时B点坐标为（﹣4，8）；
综上所述，B点坐标为（，﹣）或（﹣4，8）；
（3）∵点A的坐标为（a，﹣a），点B坐标为（4﹣a，﹣a），
∴AB与x轴平行，
∵点D的坐标为（2，﹣4），△OAB的面积是△DAB面积的3倍，
∴AB?|a|＝3×AB?|﹣a+4|
解得a＝3或a＝6，
∴B点坐标为（1，﹣3）或（﹣2，﹣6）．