2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第15章
轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题
1．现实世界中，对称现象无处不在．下列标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
3．已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣4）2++|c﹣4|＝0，那么△ABC是（　　）
A．不等边三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．不能判断
4．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（如：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．当小球第1次碰到长方形的边时的点为Q，第2次碰到长方形的边时的点为M…，第2019次碰到长方形的边时的点为图中的（　　）
A．N点
B．Q点
C．M点
D．P点
5．如图，保持△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是（　　）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
6．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知等腰三角形的一边长为4cm，周长是18cm，则它的腰长是（　　）
A．4cm
B．7cm
C．10
cm
D．4cm或7cm
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（　　）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．以c为底边的等腰三角形
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
10．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝108°，则∠C的度数为（　　）
A．40°
B．41°
C．32°
D．36°
二．填空题
11．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝4，△ADC的周长为18，则△ABC的周长为　
　．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，CD＝CB，∠ABD＝　
　．
13．已知∠AOB＝30°且∠AOB内有一点P，点P关于OA、OB的对称点分别为E、F，则△EOF一定是　
　三角形．
14．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则△ABD的面积为　
　．
15．已知：如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB交BO于点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则△ADE的周长可用△ABC的边表示为　
　．
16．等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为　
　．
17．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为　
　．
18．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　
　．
19．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　
　．（结果用m，n表示）
20．雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为　
　．
三．解答题
21．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D，如果PQ∥RS，AB、BC、CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，那么，球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？
22．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数
3
4
5
6
7
…
对称轴的条数
…
根据上表，猜想正n边形有　
　条对称轴．
23．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．
（1）若AC＝5，BC＝7，求ΔACD的周长；
（2）若∠BAD：∠CAD＝2：1，求∠B的度数．
24．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝　
　；（直接写出答案）
（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON＝x°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含x的代数式表示）
25．如图，在已知的平面直角坐标系中，AABC的顶点都在正方形网格的格点上，若点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，3），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出此时B1的坐标是：　
　．
（2）画出△ABC沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移2个单位的图形△A2B2C2．
（3）△ABC的面积．
26．已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形．
27．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
3．解：∵（a﹣4）2++|c﹣4|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣4＝0，c﹣4＝0，
∴a＝b＝c＝4，
∴△ABC的形状是等边三角形，
故选：B．
4．解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2019÷6＝336…3，
∴当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，
∴第2019次碰到矩形的边时的点为图中的点N，
故选：A．
5．解：∵纵坐标乘以﹣1，
∴变化前后纵坐标互为相反数，
又∵横坐标不变，
∴所得三角形与原三角形关于x轴对称．
故选：A．
6．解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
7．解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18﹣8＝10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当4是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7，
4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．
故选：B．
8．解：由题意得，a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝100＝102，
∴a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，
故选：C．
9．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
10．解：如图所示，连接CO并延长，
设∠ACB＝α，则∠A+∠B＝180°﹣α，
由折叠可得，∠DOE＝∠A，∠FOE＝∠B，
∴∠DOF＝∠A+∠B＝180°﹣α，
∵∠DOG是△COD的外角，
∴∠DOG＝∠DCO+∠CDO，
同理可得，∠FOG＝∠FCO+∠CFO，
∴∠DOF＝ACB+∠CDO+∠CFO，
即180°﹣α＝α+108°，
解得α＝36°，
∴∠ACB＝36°，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，BE＝4，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ADC的周长为18，
∴AC+AD+DC＝18，
∴AC+AD+DB＝AC+AB＝18，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝26，
故答案为：26．
12．解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD
＝90°﹣75°
＝15°．
故答案为：15°．
13．解：如图．连接OP，OE，OF．
∵点P关于OA的对称点为E，
∴OA是PE的垂直平分线，
∴OP＝OE；
同理OF＝OP，
∴OE＝OF．
∴△EOF是等腰三角形．
∵∠AOB＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴等腰△EOF是等边三角形．
14．解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是＝＝12，
故答案为：12．
15．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC
故答案为：AB+AC．
16．解：当4cm为底边长时，腰长为（18﹣4）÷2＝7（cm），
当4cm为腰长时，底边长为18﹣4×2＝10（cm），
∵4+4＜10，
∴当4cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为4cm，
故答案为4cm．
17．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．
18．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA
的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故答案为：（，）．
19．解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，
故答案为：m+2019n．
20．解：利用轴对称的性质得出：
该汽车牌照号码为：苏N?2020N．
故答案为：苏N?2020N．
三．解答题
21．解：球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．理由如下：
∵PQ∥RS，∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，
∴BN∥CM，
∴∠CBN＝∠BCM，
又∵∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴CD∥AB．
22．解：如图，
故填3，4，5，6，7，n．
23．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴ΔACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB+AC+CB＝5+7＝12；
（2）∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
设∠CAD＝x，则∠BAD＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即x+2x+2x＝90°，
解得，x＝18°，
∴∠B＝2x＝36°．
24．解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠BAO+∠ABO＝120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝60°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠MON＝n°，
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝90°﹣n°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°﹣n°；
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF＝∠CAG，
∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°﹣x°．
25．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，此时B1的坐标是（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，﹣3）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）△ABC的面积为2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣1×2＝2.5．
26．证明：∵△ABO是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠AOB＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠COD＝∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
27．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．