北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质 同步习题（Word版 含解析）

4.7相似三角形的性质
同步习题
一．选择题（共10小题）
1．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm
B．60cm，100cm
C．75cm，115cm
D．85cm，125cm
2．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．3：2
B．9：4
C．4：9
D．81：16
3．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．22
B．24
C．26
D．28
4．如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为（　　）
A．2
B．4
C．
D．
5．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（　　）
A．E为AC的中点
B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180°
C．∠ADE＝∠C
D．DE是中位线或AD?AC＝AE?AB
6．如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）
A．
B．
C．AD?AB＝DE?BC
D．AD?AC＝AB?AE
7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（　　）
A．6cm
B．9cm
C．16cm
D．24cm
8．已知△ABC?△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是（　　）
A．1：4
B．4：1
C．1：2
D．2：1
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D沿直线剪下一
个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
10．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为　
　．
12．如图，△ABC中，点D在AC边上．若△ABC∽△ADB，AB＝3，AC＝4，则AD的长为　
　．
13．如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，那么这两个三角形的面积比是　
　．
14．如图，在△ABC中，点D在BC边上，△ABC∽△DBA．若BD＝4，DC＝5，则AB的长为　
　．
15．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝9，则＝　
　．
16．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为　
　．
三．解答题（共3小题）
17．如图．已知△ABC中，△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，求S△ADE：S四边形DECB．
18．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．求：
（1）CD的长；
（2）∠BAD的度数．
19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．
（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．
参考答案
1．解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．
故选：C．
2．解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，
∴其面积之比为81：16．
故选：D．
3．解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，
可得FH：DE＝3：4，
∴＝（）2＝，
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．
故选：D．
4．解：∵AC＝4，D是AC的中点，
∴AD＝DC＝2，
∵△ABC∽△ADB，
∴，
即：，
解得：AB＝2，
故选：C．
5．解：A、∵△ADE与△ABC相似，
∴∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C，
∴当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，
∴点E不一定为AC中点，故A错误；
B、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
当△ADE∽△ACB时，∠ADE＝∠C，
∴∠BDE+∠C＝180°，故B正确；
C、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，故C错误；
D、当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，
∴DE不一定是中位线，
当△ADE∽△ACB时，AD?AB＝AE?AC，故D错误；
故选：B．
6．解：∵∠EAD＝∠CAB，
∴当，
即AD?AC＝AB?AE，
∴ED∥BC，
故选：D．
7．解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得：＝，
解得：x＝6，
即另一个三角形的最短边的长为6cm．
故选：A．
8．解：∵△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△ABC?△DEF，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
故选：C．
9．解：如图所示：
当DF∥BC时，△ADF∽△ACB；
当DG∥AB时，△CDG∽△ABC；
当DE⊥AB时，△ADE∽△ABC；
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
故选：C．
10．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，
∴，A错误；
∴，C错误；
∴，D正确；
不能得出，B错误；
故选：D．
11．解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝6，AE＝8，BE＝10，
∴，
解得：AC＝24．
故答案为：24．
12．解：∵△ABC∽△ADB，
∴，
即：AB2＝AD?AC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴32＝4AD，
∴AD＝，
故答案为：．
13．解：两个相似三角形面积的比是（4：5）2＝16：25．
故答案为：16：25
14．解：∵△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴AB2＝BD?BC＝4×（4+5）＝36，
∵AB＞0，
∴AB＝6，
故答案为6．
15．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝9，
∴．
故答案为
16．解：∵△BCD∽△BAC，
∴，设AB＝x，
∴22＝x，
∵x＞0，
∴x＝4，
∴AC＝AD＝4﹣1＝3，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∴CD＝．
故答案为：
17．解：∵△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE：S四边形DECB＝9：40．
18．解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴＝，又AC＝4，BC＝6，
∴CD＝；
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．
19．解：（1）猜想：BE＝DF+EF，理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，
由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，
∵∠BAF′+∠EAF′+∠GAD＝90°，∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠GAD+∠DAF＝45°，
∴∠EAF′+∠GAD+∠DAF＝90°，∠EAF′＝∠EAF＝45°．
在△EAF和△EAF′中，，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∴BE＝BF′+EF′＝DF+EF．
（2）∵△EGF∽△EFA，
∴∠EFG＝∠EAF＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF．
设DF＝x，则CE＝1+x，EF＝（1+x），BE＝1+1+x，
根据题意得：1+1+x＝x+（1+x），
解得：x＝﹣1，
∴x+（1+x）＝1+，
∴BE的长为1+．