北师大版九年级数学下5.5二次函数与一元二次方程（Word版 含答案）

北师大版九年级数学下第二章5
二次函数与一元二次方程
5.1二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系（含答案）
一、选择题
1．二次函数y＝x2＋ax＋b的图象如图1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)
图1
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x1＝－1，x2＝4
2．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是(　　)
A．2和－3
B．－2和3
C．2和3
D．－2和－3
3．已知二次函数y＝x2－mx－n2(mn≠0)，则它的图象与x轴的交点情况为(　　)
A．有两个交点
B．有一个交点
C．没有交点
D．不能确定
4．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的根是(　　)
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
5．已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有交点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＜2
B．a＞－1
C．－1＜a≤2
D．－1≤a＜2
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(　　)
图2
A．m≤－2
B．m≥－2
C．m≥0
D．m＞4
7．如图3，一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是(　　)
图3
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．以上结论都不正确
8．下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是(　　)
A．没有交点
B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
二、填空题
9．如图4，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的根是________.
图4
10．如图5是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是______________．
图5
三、解答题
11．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点？
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图6所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
图6
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的顶点为(－1，－2)，且经过点(－2，1)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝x＋1是否有交点？若有，请判断有几个交点；若没有，请说明理由．
附加题
某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
－3
－
－2
－1
0
1
2
3
y
…
3
m
－1
0
－1
0
3
其中，m＝________．
(2)根据上表数据，在如图7所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
③若关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是____________．
图7
参考答案
1．[答案]
D
2．[解析]
A　二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标实际就是方程x2＋x－6＝0的两个根，由(x－2)(x＋3)＝0得两根分别为2和－3.
3．[答案]
A
4．[答案]
B
5．[解析]
D　y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7＝x2－2ax＋a2－3a＋6.
∵抛物线与x轴没有交点，
∴(－2a)2－4(a2－3a＋6)<0，
解得a<2.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝a，抛物线开口向上，
且当x<－1时，y随x的增大而减小，
∴a≥－1，
∴实数a的取值范围是－1≤a＜2.
故选D.
6．[答案]
B
7．[解析]
A　∵一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，
∴ax2＋bx＋c＝－x有两个不相等的实数根，
ax2＋bx＋c＝－x可变形为ax2＋(b＋1)x＋c＝0，
∴ax2＋(b＋1)x＋c＝0有两个不相等的实数根．
故选A.
8．[答案]
D
9．[答案]
x1＝－2，x2＝1
[解析]
∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，
∴方程组的解为
即关于x的方程ax2－bx－c＝0的根为x1＝－2，x2＝1，
∴方程ax2＝bx＋c的根是x1＝－2，x2＝1.
故答案为x1＝－2，x2＝1.
10．[答案]
有两个相等的实数根
11．解：(1)证明：∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个交点，所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个交点．
12．(1)x1＝1，x2＝3　(2)1＜x＜3
(3)x＞2　(4)k＜2
13．解：(1)将(－1，－2)，(－2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得
解得
所以该抛物线的表达式为y＝3x2＋6x＋1.
(2)联立得
消去y，得3x2＋6x＋1＝x＋1，即3x2＋5x＝0.
因为52－4×3×0＝25>0，
所以抛物线y＝3x2＋6x＋1与直线y＝x＋1有两个交点．
附加题
解：(1)0
(2)如图所示：
(3)答案不唯一，如：①函数y＝x2－2|x|的图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大．
(4)①3　3　②2　③－1