【A典学案】圆-直线与圆的位置关系第2课时 课件（20张PPT）

第三章 圆
第27课时 直线和圆的位置关系
北师大版 九年级下册
温故知新
1.复习切线的性质定理．
2.什么是三角形的外心？
阅读感知
阅读课本 92～93 页的内容，完成下面的填空：
1.切线的判定定理
经过直径的一端，并且_________这条直径的直线是圆的切线．
2.三角形的内切圆．
和三角形三边都_______的圆，叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的内心．
合作探究
探究 1：如图 1 所示，已知⊙O 上有一点 A，过一点 A 作出⊙O 的切线．
分析：根据“经过直径的外端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”，可连接 _________，过点作 OA 的垂线．
请同学们自己写出作法并作出图形．
合作探究
探究 2：如图 2 所示，已知△ABC，求作：△ABC 的内切圆．
分析： 根据“三角形的内切圆到三角形三边的距离相等”，所以内切圆的圆心应在这个三角形上，半径为圆心到 _______ 的距离．
请同学们自己写出作法并作出图形．
合作探究
探究 3：切线的判定定理的应用
如图 3 所示，已知 Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB 为直径作⊙O，交斜边 AC 于点 D，连接 BD．
（1）若 AD＝3，BD＝4，求边 BC 的长；
（2）取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与⊙O 相切．
思考：（1）所求的线段和已知线段在哪两个三角形中？它们之间具有什么关系？
（2）要证明直线与圆相切，需要满足什么条件？在图 3 中添加你需要的
合作探究
辅助线，并写出证明过程．
典例精讲
类型之一 切线的判定及有关计算
【例 1】如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BC，连接 OC，弦 AD∥OC．
求证：CD 是⊙O 的切线．
典例精讲
解析：连接OD．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD∥OC，∴∠OAD＝∠BOC，∠ODA＝∠COD，
∴∠COD＝∠BOC，∴△COD≌△COB，
∴∠ODC＝∠OBC，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴CD为⊙O的切线．
典例精讲
【例 2】如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线，sinB＝ ，∠D＝30°．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若 AC＝6，求 AD 的长．
典例精讲
解析：（1）连接OA．∵sinB＝ ，∴∠B＝30°，
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°．
∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
（2）∵OA＝OC，∠AOC＝60°．
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝ ．
典例精讲
类型之二 与三角形内心有关的计算及证明
【例 3】如图所示的△ABC 是工厂里大量铁板余料，小明测得∠C＝90°，∠A 的平分线分对边 BC 所得两条线段 BD＝5，DC＝3，现要最大限度利用这种余料截出一个圆形铁板．
（1）试用直尺和圆规确定出圆形铁板的圆心 O；
（2）求⊙O 的最大半径．
典例精讲
解析：（1）作∠ACB的角平分线交BD于点O，则点O为铁板的内切圆的圆心．
（2）∵AD平分∠BAC，∴ ，
设AB＝5a，则AC＝3a，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝4a，
而BC＝BD＋CD＝8，
∴4a＝8，解得a＝2，
∴AB＝10，AC＝6，
典例精讲
∴△ABC的内切圆的半径＝ ＝2，
即⊙O的最大半径为2．
课堂操练
1.下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
2.如图所示，△ABC 的内切圆 O 分别切三边于点 D，E，F，如果∠A＝50°，那么∠EDF 等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
B
D
课堂操练
3.如图所示，点 I 是△ABC 的内心，AI 交 BC 于点 D，交△ABC 外接圆于点 E，则图中与 IE 相等的线段是（ ）
A．IA B．IB C．BD D．BE
4.如图所示，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交圆于点 C，连接 BC．若∠A＝26°，则∠ACB 的度数为 __________．
D
32°
课堂操练
5.如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC⊥OA 交 AB 于点 C，过点 B 的直线交 OC 的延长线于点 E，当 CE＝BE时，直线 BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
解析：BE与⊙O相切．证明如下：连接OB．
∵CE＝BE，∴∠2＝∠1＝∠3．
∵OC⊥OA，∴∠3＋∠A＝90°．∴∠2＋∠A＝90°．
又∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBC．
∴∠2＋∠OBC＝90°．即∠OBE＝90°．
∴BE与⊙O相切．
中考在线
(天水)如图所示，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D．过点 A 作⊙O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC，AB 的延长线交于点 F．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段 CF 的长．
中考在线
解析：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵
∴△OAP≌△OCP(SSS)，
∴∠OCP＝∠OAP
中考在线
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OC·tan∠COB＝5
谢谢
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