26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
第二十六章
二次函数
26.3
实践与探索
第2课时
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.（难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
情景导学
2
情景导学
情境引入
问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
二次函数与一元二次方程的关系
（1）球的飞行高度能否达到15m?如果能，需要多少飞行时间?
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程
15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗?
新课进行时
（2）球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多少飞行时间?
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m?
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
新课进行时
（3）球的飞行高度能否达到20.5m?如果能，需要多少飞行时间?
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4
×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
新课进行时
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
新课进行时
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
新课进行时
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y
=
－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量x的值．
新课进行时
核心知识点二
利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
新课进行时
1
x
y
O
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2－x＋1
y
=
x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数
公共点
横坐标
相应的一元二次
方程的根
y
=
x2－x＋1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2,
1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
新课进行时
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
新课进行时
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以
x－1＝0或mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
新课进行时
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
新课进行时
核心知识点三
利用二次函数求一元二次方程的近似解
例2：求一元二次方程
的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程
x?-2x-1=0
的根就是抛物线
y=x?-2x-1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
新课进行时
解：画出函数
y=x?-2x-1
的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
新课进行时
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
新课进行时
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数
y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数
y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
方法归纳
新课进行时
例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
新课进行时
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
新课进行时
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
x
y
O
　-2
2
2
4
6
4
-4
8
-2
-4
y
=
x2－2x－2
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
练一练
新课进行时
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标
.
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
说一说
新课进行时
核心知识点四
二次函数与一元二次不等式的关系
问题1
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是
_____
_____;
不等式ax2+bx+c>0的解集
是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集
是_________.
3
-1
O
x
y
x1=-1，
x2=3
x<-1或x>3
-1合作探究
新课进行时
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是
______________;
不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3
-1
O
x
2
(4,2)
(-2,2)
x1=-2，
x2=4
x<-2或x>4
-2y
新课进行时
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2
的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有____
个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
1
(2,0)
x=2
2
O
x
新课进行时
问题3：如果方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少?
0
解：（1）当a>0时,
ax2+bx+c<0无解；
（2）当a＜0时,
ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
3
-1
O
x
新课进行时
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1)
①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2)
①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3)
①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.
x
y
0
2
0
x
y
-1
2
x
y
0
y=
-x2+x+2
x1=-1
,
x2=2
1
＜
x＜2
x1＜-1
,
x2＞2
x2-4x+4=0
x=2
x≠2的一切实数
x无解
-x2+x-2=0
x无解
x无解
x为全体实数
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
a＞0
a＜0
有两个交点x1,x2
（x1＜x2）
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x2
.
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x2.
y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
知识小结
4
知识小结
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c
（a>0）
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1=
x2
x
y
x
O
y
△>0
△＝0
△＜0
x1
;
x2
x1
=x2
＝－b/2a
没有实数根
xx2
x
≠
x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
随堂演练
5
随堂演练
判断方程
ax2+bx+c
=0
(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（
）
A.
3<
x
<
3.23
B.
3.23
<
x
<
3.24
C.
3.24
3.25
D.
3.25
3.26
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
C
1.根据下列表格的对应值:
随堂演练
2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=
；
-1
y
O
x
1
3
3.一元二次方程
3
x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
，那么二次函数
y=
3
x2+x－10与x轴的交点坐标是
.
(-2，0)
(
，0)
随堂演练
4.若一元二次方程
无实根，则抛物线
的图象位于（
）
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
A
随堂演练
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
随堂演练
能力提升
已知二次函数
的图象，利用图象回答问题：
（1）方程
的解是什么?
（2）x取什么值时，y>0
?
（3）x取什么值时，y<0
?
x
y
O
2
4
8
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）2课后作业
6
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课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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