第26章 小结与复习 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第二十六章
二次函数
小结与复习
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
要点梳理
1
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如　
　(a，b，c是常数，　
　)的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a
≠0
[注意]
(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2.二次函数的图象
二次函数的图象是一条　
，它是　
　对称图形，其对称轴平行于_____轴.
[注意]
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
抛物线
轴
y
要点梳理
(1)一般式：____________________;
3.二次函数的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式：____________________;
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
(3)交点式：____________________;
y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)
4.二次函数的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝ax2
上、下平移
y＝ax2
左、右平移
左、右平移
上、下平移
上、下移且左、右移
[注意]
抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减．
要点梳理
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
方向
对称轴
顶点坐标
最值
a＞0
a＜0
增减性
a＞0
a＜0
5.二次函数的y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
a＞0
开口向上
a
＜
0
开口向下
x=h
(h
,
k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边，
x
↗y↘
；在对称轴右边，
x
↗
y
↗
在对称轴左边，
x
↗y
↗
；在对称轴右边，
x
↗
y
↘
y最小=
y最大=
要点梳理
6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c
（a>0）
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
O
x
y
O
x1=
x2
x
y
x
O
y
△>0
△＝0
△＜0
x=x1
;
x=x2
没有实数根
xx2
x
≠
x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
x=
考点讲练
2
考点讲练
核心知识点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
例1
抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为____．
【解析】
方法一：
配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二：
代入公式
，
，
则顶点坐标为(1,2)．
考点讲练
解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
方法总结
考点讲练
针对训练
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是(　　)
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C
考点讲练
核心知识点二
二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2
二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1.
故选B.
B
考点讲练
当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：
(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；
(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；
(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
方法总结
考点讲练
针对训练
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（
）
A.
y=x2
B.y=x-1
C.
D.y=-3x2
D
考点讲练
核心知识点三
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的关系
例3
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　
C．3　　　　　D．4
D
考点讲练
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.
【答案】
D
考点讲练
方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
考点讲练
针对训练
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即b≤1，故选择D
.
D
考点讲练
核心知识点四
抛物线的几何变换
抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.
例4
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移
2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是
(　　)
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝
(x－4)2－2.故选B.
方法总结
B
考点讲练
针对训练
4.若抛物线
y=－7(x+4)2－1平移得到
y=－7x2，则必须（
）
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
考点讲练
核心知识点五
二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c,
由题意得：
解得,
a=2,b=－3,c=5.
∴
所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5.
考点讲练
1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；
2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；
3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为
(x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.
方法总结
考点讲练
针对训练
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同?
a=1或－1.
又∵顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
∴顶点为(1,5)或(1,－5).
所以其解析式为:
(1)
y=(x－1)2+5
(2)
y=(x－1)2－5
(3)
y=－(x－1)2+5
(4)
y=－(x－1)2－5
考点讲练
核心知识点六
二次函数与一元二次方程
例6
若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）
A．x1=0，x2=6
B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7
D．x1=﹣1，x2=7
【解答】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴－
=3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．
故选D．
D
考点讲练
核心知识点七
二次函数的应用
例7
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.
考点讲练
利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.
方法总结
课堂小结
3
知识小结
二次函数
图象画法
抛物线
开口方向
抛物线的顶点坐标和对称轴
二次函数的性质
抛物线的平移
最值
确定
解析式
应用
课后作业
4
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课后作业
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2、完成同步练习册本课时的习题。
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