江西省赣州市十五县十六校2021届高三第一学期期中联考数学（理）试卷（PDF版含答案）

1 π
． 横坐标缩短 到原来的 纵坐标不变 ，再向左平移 个单位长度
2020~2021 学年度第一学期赣州市十五县 (市 A ( )
) 2 8
1 π
． 横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 ，再向右平移 个单位长度
十六校期中联考高三数学 B ( )
(理科 )试卷 2 4
π
C． 横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再向左平移 个单位长度
8
π
D． 横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再向右平移 个单位长度
一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ． 在每小题给出的四个选项中，只有一项 4
是符合题目要求的 ． 2 uuuvuuv uuv
2 7．在 ?ABC中， CA =1， CB =2， ∠=ACB π，点 M 满足 = + ， 则
1．已知集合 Axx x x= ??≤∈{ 230, Ζ}，集合 Bxx= >{ 0}，则集合 CMCBCA2
ABI 的元素个数为 3
uuuvuuuv
( ) MAMB?=( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 A． 0 B． 2 C． 23 D． 4
vv vv vvvv
2．设 ab, 是非零向量，则 “存在实数 λ，使得 ab=λ ”是 “ abab+=+ ”的 ( ) 8．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是
最美的三角形，它是顶角为 °的等腰三角形 (另一种是顶角为 °的等腰三
A．充分不必要条件 36 108
B．必要不充分条件 角形 )例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ?
3．已知 BC 51
a =log2 2 0.2
0.2 ， b=0.2 ， c =3 ，则 ( ) 个黄金三角形 ABC中， = ，根据这些信息，可得 sin234°=( )
A． abc<< B． AC 2
acb<< C． cab<< D． bca<<
4．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家 ， 以华氏命名的数学科研成果有 “华氏定理 ”、 “华氏不等式 ”、 125? 35+ 15+ 45+
A． B． ? C． ? D． ?
“华王方法 ”等 ． 他除了数学理论研究 ， 还在生产一线大力推广了 “优选法 ”和 “统筹法 ”． “优选法 ”， 4 8 4 8
是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的 一种科学方法 ． 在当前防疫取得重要进展 ??ππ
的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了 “优选法 ”提高 9．已知 fx x x( )= +sin 3cosωω (ω>0)在区间 ??, 上单调递增，则 ω的 取值范围是
??64
检测效率：每 16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行； ( )
若为阳性，则对该 16人再次抽检确认感染者 ． 某组 16人中恰有一人感染 (鼻咽拭子样本检验将
会是阳性 ??2 ????2 26 ??? ?26 50 ??? ?2 50
)，若逐一检测可能需要 15次才能确认感染者 ． 现在先把这 16人均分为 2组，选其中 A． ?0, ． ． ．
? B ?0, 7,???U C ??? ?7, ,19U D ?0, ,19?? ?U
一组 8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组 ． 继续把认定的 ??3 ????33 ??? ?33 ??? ?33
这组的 8人均分两组，选其中一组 4人的样本混合检查 ……以此类推，最终从这 16人中认定那 10．函数 fx()的导函数 fx′()，对任意 x∈R，都有 fxfx′()()> 成立，若 f(ln2)2= ，则满
名感染者需要经过 ( )次检测 ． 足不等式 x
fxe()> 的 x的取值范围是 ( )
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
2 A． (0,1) B． (1,+∞) C． (0,ln2) D． (ln2,+∞)
x ?1
5． 函数 fx( )= x 的图象大致为 ( ) x ?π ?
e 11．已知函数 f(x)= a +2sin? x??xlna(a >0,且 a ≠1)，对任意 xx12, 0,1∈[ ]，不等式
? 6 ?
fxfxa( 21)? ≤?( ) 2恒成立，则实数 a的最小值是 ( )
A． e2 B． e C． 3 D． 2
?1
? ,0x= 2
12．已知函数 fx()=?m ，关于 x的方程 3()(23)()20mfx m fx?+ += 有 以下结论： ①
? ?x
?ex,0≠
存在实数 ，使方程有 个解； ② 当方程有 个解时，这 个解的和为 ； ③ 不存在实数 ，使
A． B． C． D． m 2 3 3 0 m
??? ?33
??π 方程有 个解； ④ 当方程有 个解时， 实数 的取值范围是 1, ,U +∞ ．其中正确结论的
6． 要得到函数 yx= 4 5 m
cos 的图象，只需将函数 ??? ?
yx= +sin2??的图象上所有的点的 ( ) ??? ?22
??4 个数为 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 分，共 分 ． 20． (满分 12分 )设 D_-? yfx= () xD0∈ fx x()00=?
2 3
13．设函数 fxaxb()= + (a≠0，若 ∫ fxdxfx
0 () ()=3 0 x0 >0 x0 =__________． x0_ fx(),?0Z “准不动点 ”，也称 fx() X jL$ D:? X?=?&é?".
v v v v vv
14．已知向 量 xx
a =()1,3 ? b=?( )2,1 ? c=()3,2 ?9
AG? a>
AG? kbc+ ?4??I?? fx a()= +??log4 211 ( ) x∈[]0,1
k =_________． 2
1
15．已知命题 p 2 +1 (1)若 a=1 fx(),??=?&é×
? ?∈ ++≤xRxxm,20 q?r-? = m?3
fxx
() ( )0,+∞
(2)若函数 fx() X jL$ []0,1 :? X?=?&é?"r?? a,?
l93 $?
“ pq∨ 为真命题， “ pq∧ 为假命题，则实数 m,?
l93 $_ _________．
2 2
16．已知函数 fxx ax()=+2 gxaxb()= +4ln yfx= () ygx= ()
P，且在 P点处的切线相同，当 a∈+∞( )0, b的最大值是 ______．
三、解答题：共 70 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 第 ～ 题为必考题，
每个试题考生都必须作答 ． 第 、 题为选考题，考生根据要求作答 ． 2
21． (满分 12分 )已知函数 fx xx()=++ln 1 gxxx()=+2
32 2
17． (满分 12分 )已知函数 fxx axbxa()=+++3 x=?1 0． (1)求函数 hxfxgx() () ()= ? ( )1,1h() 4,?74?é0;×
(1)求常数 a? b,?l×
(2)若实数 m > fxmgx?≤0 m
(2)求 fx j¤??D)+?,? ,?0?l?
() X jL$ [ ]?4,0 x 0 () ()
18． (满分 12分 )在锐角 ?ABC A， B， C所对的边分别为 a， b， c．已知 请考生在第 22、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 作答时，请用
??π
bAaBsin sin= + 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．
??
??3 22． (满分 10分 )选修 4-4：坐标系与参数方程
(1)求角 B的大小； ? xt=cos
在直角坐标系
c xOy]?"4? C1:? (t为参数 )，以坐标原点 Oj±&é? xE¤,?!“ z
(2)求 ,?
l93 $? ?yt=+1sin
a ??π
E¤j±E¤*0?± ?73+?"4? C2,?± ?7é0;j 2cos 33ρθ???=
??3
(1)求曲线 C1,?± ?7é0;×
π
(2)已知点 M ( )2,0 ?-$4? l,?± ?7é0;j θ= C1,??&éj OP, ?>"4? C2,?
2 1 6
19． (满分 12分 )已知函数 fx xxx()=+?sin sincos x∈R?
2 ?&éj Q?"r ?MPQ
(1)求函数 fx(),?0Wl???*-(?,? x,?
lL?
8×
??ππ3 23． (满分 10分 )选修 4-5： 不等式选讲
(2)若 2
f ()α = α∈???, sin2α
6 ??88 已知 fx x ax()=+??11
(1)当 a=1 fx()>1
(2)若 x∈()0,1 fxx()> a,?
l93 $?
2
2020~2021 学年度第一学期赣州市十五县 (市 ) 故方程 fx?? ??0有根 x??3或 x??1?由 f x x x? ? ? ? ?( ) 3 12 9 0，
2
得 x? ?? ?( , 3)∪ (? ??1, )，由
十六校期中联考高三数学 f x x x? ? ? ? ?( ) 3 12 9 0得 x? ? ?( 3, 1)，
(理科 )参考答案 2020-11
一、选择题 ?函数 fx()的单调增区间为： ???4, 3?， ??1,0?，减区间为： (??3, 1)．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数在 x??3取得极大值，在 x??1取得极小值；
答案 经计算 f ??40， f ??34， ， f 04? ，
C B A B D D A C B D A C ? ? ? ? f ? ???10 ? ?
所以函数的最小值为 ，最大值为 ． 分
2 0 4 …………………12
12． 【详解】 3mf x m f x( ) (2 3) ( ) 2 0 [3 ( ) 2][ ( ) 1] 0? ? ? ? ? ? ? ?f x mf x ， ???
18．【解】 (1)由 b A a Bsin sin?? ，
2 1 2 1 1 ??
fx()? ，或 fx()? ，由 fx()图像可知， 3
fx()? 有两个解，由 f(0)? 得 fx()? ??
3 m 3 m m ???
根据正弦定理，有 sin sin sin sinB A A B??
2 ??
至少有一个解 0，因此 ① 错； ② 对； ③ 对； ④ 中，由题可知：当 3
x?0时， fx()? 有 2个解且 ??
3 ??? 13
1 2 1 3 即有 sin sinB B? ??? ? ?sin cosB B
fx()? 有 2个解且 ? ? ?m ， ??3 2 2
m 32m ?
易得函数 fx()是偶函数，当 x?0时，函数 fx()是减函数，故有 0??fx( ) 1，即当 x?0时有， 则有 tan 3B? ，又 0??B ?，所以， B? ………..5 分
3
1 ? ? ? ?33
0??fx( ) 1，所以 01? ? ? ?m 1，综上所述 m的取值范围是 ? ? ? ?1, ,U ?? ， ④ 对 ， ? 2?
由 ， ，则 ，又 为锐角三角形，
m ? ? ? ?22 (2) (1) B? AC?? ?ABC
3 3
故正确结论有 3个，选 C． ? 2?? ?? 3
二、填空题： 13． 3； 14． 1； 所以， 且
15． 0??A 0? ? ?A ，所以 ??A ，于是 ………7 分
???,1 2,3? ? ?； 16． 2 e． tanA?
2 32 62 3
2
4a
16．【解析】设 P? ?x y
00, ， f?? ?x x a??22 ， gx'? ?? ．由题意知， f ??2?
? ? ? ?x g x
00? ， sin ?A 31
?? cos sinAA?
x 则 cCsin ??3 22 3 1 …….10 分
2 ? ? ? ? ? ?2
22 4a a A Asin sin sin 2 tan 2A A
f??? ? ? ?x g x
00? ，即 x ax a lnx b0 ? ? ?240 0 ， ① 22xa0 ?? ， ②
x0 3 1 1 c ??1
又 ?? ,…….11 分 所以， 的取值范围是 ??,2 …………..12 分
解 ② 得 xa0 ? 或 xa0 ??2(舍 )， 2 tan 2 2A a ??2
代入 ① 得： 22
b??34a a lna， a??? ?0, ? ， ．【 解】 因为
b a alna a a lna'? ? ? ? ?6 8 4 2 1 4 19 (1)
? ?，
1 1 2 1 1 cos 2 1 1 1? x
?? f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?sin sin cos sin 2 sin 2 cos 2x x x
当 ae? 0, 4 ?? ? ? ? ?
??时， 4
b'0? ，当 ae????, ? 时， b'0? ． ?实数 b的最大值是 2 2 2 2 2
?? ?? 22? ? ?? ? ??
11 ? ?sin 2 cos cos 2 sin sin 2x ? x ? ? ?? ?x ， ……….3 分
?? 2 4 4 2 4
b e e elne e44
??? ? ?3 4 2 ．故答案为 ? ? ? ?
2 e．
?? ?? 3? 2
2 当 22x? ? ? ?k k Z? ? ?，即 x?k k Z?? ?? ?时，函数 y? f x? ?取最大值 ， …..5 分
三、解答题： 17．【解】 (1) f?? ?x x ax b? ? ?36 ，由题知： 42 8 2
??f?? ???10 ?3? ? ?6 0 (1)ab ?a ?1 ?a ?2 2 ??3?
所以函数 y? f x? ?的最大值为 ，此时 x的取值集合为 ??x x k k Z? ?? ?, ； …….6 分
???
2 联立 (1)、 (2)有 ? 或 ? ． …………4 分 8
??f ? ???10 ?? ? ? ? ?1 3 0 (2)a b a ?b?3 ?b?9 2 ??
2 22??? ??? 1
?a ?1
2 2 (2)因为 f ? ?? ? ，则 sin 2??? ，即 sin 2????? ，
当 ? 时 ??
f x x x x?? ?? ? ? ? ? ?3 6 3 3 1 0? ? 在定义域上单调递增，故舍去； ……5 分 6 2 4 6?? ??43
?b?3
????3 ? ??? ?
所以 a?2， b?9，经检验，符合题意 ……………………6 分 因为 ?????, ，所以 2,?? ? ???，
2 ??88 4 ??2 2
(2)当 a?2， b?9时， fx?? ?? ? ? ? ? ?3x x x x12 9 3 3 1? ?? ?
2020~2021学年度第一学期赣州市十五县 (市)十六校期中联考高三数学(理科)参考答案 第 1页 共 2页
2
?? 1 2 2 ??1
则 ? ? ? ? ? ?2
cos 2 1 sin 2 1? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ， ………..9 分 由零点定理得 ??x0 ??,1 ，使得 tx? 0??0，即 xx00??2ln 0
? ? ? ? ? ?4 4 3 3 ??2
??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 且 xx??0,
0?时， tx? ??0，则 ???x??0，
所以 sin 2 sin 2? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?sin 2 cos cos 2 sin? ?
??? ? ? ? ? ?4 4 4 4 4 4 xx? ??? 0, ?时， tx? ??0. 则 ???x??0
1 2 2 2 2 4 2? ∴ ? x 在 0,x 上单调递增，在
? ? ? ? ? … ……………..12 分 ? ? ? 0? ?x
0,???上单调递减 ………..9 分
3 2 3 2 6 ln 1xx00??
xx ∴ ???xx?
max ??? 0?
2 ，
20．【 解】 (1)由题意，可得 f x( ) log 4 2 1? ? ? ? ?
1 ? ? x， xx00?2
2
即 x x x x ??1 ln 1xx00?? 11??
4 2 1 2? ? ? ， ??41， ??x 0．故当 a?1，函数 fx()的准不动点为 x0 ?0． ….5 分 又由 xx00??2ln 0， x0???,1 ，则 ??x0??
2 ? ???,1 ……..11 分
xx ??2 x x x0 0?2 2 20 ??
(2)由题意知， f x( ) log 4 2 1? ? ? ? ? ?
1 ? a x? 即 x x x
4 2 1 2? ? ? ?a 在 ?0,1?上有根，
2 ∴ 由 mx??? ?恒成立，且 m为整数，可得 m的最小值为 1… …………….12 分
x x x x 1 x 1 xt?cos
4 2 1 2? ? ? ?a 变形为 ? ? ? ?a 21
x ，令 t ??2 1,2? ?，而 yt? ? ?1在 ?1,2?上单调递 ?
2 2 22
22．【 解】 (1)C : ，其普通方程为 xy? ? ?? 11? ， 即 x y y? ? ?20
2 t 1 ?
?yt??1 sin
1 1 1
增，所以 ? ? ?1 y ，即 ? ? ? ?1 a ，所以 ? ? ?a 1． ……………9 分 ∵ xy??? ? ?cos , sin ，∴ 曲线 C1的极坐标方程 为 C1: 2sin??? ……….5 分
2 2 2
????2sin
1 x x 1
又 xx ? ???
4 2 1 0? ? ? ?a 在 ?0,1?上恒成立，所以 a??
x 2 ．令 t ??2 1,2? ?，而 yt?? 在 ?1,2? (2)联立 C 与 l的极坐标方程： ，解得 P点极坐标为 1, …………..6 分
2 t 1 ? ? ??
? ?? ??6
上单调递减，所以 ymax ?0，即有 a?0， ……….11 分 ? 6
? ???
综上， 01??a ，即实数 a的取值范围为 ?0,1?． ……….12 分 ?2 cos 3 3??????
? ??3 ???
2 联立 C 与 的极坐标方程： ? ，解得 Q点极坐标为 3, ， … 7分
21．【 解】 l
(1)h x f x g x x x x 2 ??
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ln 1， ? ? 6
?? ??
?
1 ? ? ?2 1 1xx ? 6
∴ ? ?? ?
h x x?? ?? ? ? ?21 ， ………..1 分 ?
xx 所以 PQ ?2，又点 M 到直线 l的距离 d ??2sin 1， ……………… ..9分
6
hh?1 1, 1 2?? ? ? ??? ? …………3 分
1
故 ?MPQ的面积 分
∴ S PQ d? ? ?1… ……….10
hx? ?在 ?1, 1h? ??处的切线方程为 y x x y? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 0? ?即 ………..4 分 2
2
(2)由 f x mg x? ???? ? 0，即 ln 1 2 0x x m x x? ? ? ? ? ? ? ? ?2, 1,x
? ? 在 ?0,???上恒成立， ?
23．【 解】 (1)当 a?1时， f x x x? ?? ? ? ?11 ，即 f x x x? ?? ? ? ??2 , 1 1,
ln 1xx??
∴ m?
2 在 ?0,???上恒成立， ………..5 分 ?
? 2, 1.x?
xx?2
??1
ln 1xx?? ? ? ??x x x1 2ln?? ? 故不等式 fx? ??1的解集为 ??xx? ． …….5 分
设 ? ?? x ?
?xx???
2 ? 0?，则 ? ?
2 2 ， ??2
xx?2 ?xx?2 ?
(2)当 x? 0,1 时 x ax x? ? ? ?11 成立等价于当 x? 0,1 时 ax??11成立．
2 2 ? ? ? ?
显然 x??10， ?xx??20? 若 a?0，则当 x??0,1?时 ax??11；
??2
设 t x x x? ?? ? ?? 2ln ?，则 tx?? ?? ? ? ???10，故 tx? ?在 ?0,???上单调递减 2 2
??x 若 a?0， ax??11的解集为 0??x ，所以 ?1，故 02??a ．
a a
? ? ? ?1 1 1 1
由 t?1 1 0?? ? ? ， t? ? ? ?? ? ? ? ? ?2ln 2ln 2 0， 综上， a的取值范围为 ?0,2?． ………….10 分
? ? ? ?2 2 2 2
2020~2021学年度第一学期赣州市十五县 (市 )十六校期中联考高三数学 (理科 )参考答案 第 2页 共 2页