第三章 整式及其加减 7 探索与表达规律
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第三章 整式及其加减
7 探索与表达规律
考点知识清单
考点1 探索一组图形的变化规律
例1 下列是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形。
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；
（2）第n个图形中共有___________根火柴（用含n的式子表示）；
（3）请计算第2008个图形中共有多少根火柴.
思路提示: 该类问题常有两种思考角度，一是根据图形规律求解，二是根据数字规律求解.需要关注的是图形中点的个数与图形序号之间的关系.容易看出，第1个图形由4根火柴棒组成，第2个图形由7根火柴棒组成，即以后每一个图形比前一个图形多3根火柴棒，据此规律易解决各个问题.
方法归纳
当一组图形按照某种规律发生变化时，我们可以利用已知图形的变化特征进行分析、猜想，从而获得变化规律.
题组训练
1.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……第n（n是正整数）个图案由多少个基础图形组成的呢？
从前三个图形可以找出规律:第1个图案基本图形的个数为4＝1×3＋1；第2个图案基本图形的个数为7＝2×3＋1；第3个图案基本图形的个数为10＝3×3＋1…因此第n个图案基本图形的个数就可以知道了，你能写出来吗？试试看.
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:
（1）填写下表:
图形序号 1 2 3 4 5
小圆个数（个） 6 10 16
（2）照这样的规律搭下去，搭第8个这样的图形需要多少个小圆？
考点2 探索一组数的变化规律
例2 用如图所示形状的甲、乙两个框，都能框住某月日历表中的四个数，设被框住的四个数中:甲框住的最小的数为a；乙框住的最小的数为b。
（1）用a和b分别表示甲和乙框住的四个数的和；
（2）若a＝b，求甲框住的四个数的和比乙框住的四个数的和大多少？
（3）甲框住的四个数的和能是48吗？乙呢？若能，求出a，b的值；若不能，请说明理由。
思路提示: 日历中的数字为连续的正整数，且一周7天，据此可得竖列、横行与斜对角两个日期之间的关系，据此列代数式解决问题即可。
方法归纳
日历表中横行相邻两数相差1，纵行相邻两数相差7.
题组训练
3.观察月历:
（1）用一个长方形去框图中的4个数（如图中深色方框所示），则方框内对角线上2个数的和有什么关系？请用字母表示出你发现的规律，并说明其正确性；
（2）用一个长方形去框图中的9个数（如图中的阴影方框所示），你知道它们之间有什么关系吗？请用字母表示，写出两个正确的结论，并说明它们的正确性。
4.将连续的偶数2，4，6，8，10…排成如下的数表，用十字框框出5个数，请回答:
（1）十字框框出的5个数的和与框子中间的数有什么关系？
（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？
（3）十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2040吗？若能，请写出这5个数；若不能，请说明理由.
2 4 6 8 10 12
14 16 18 20 22 24
26 28 30 32 34 36
38 40 42 44 46 48
…
提分突破
A 基础巩固
1.已知一列数4，6，10，18，34，…，则第6个数应该是（ ）
A. 44 B. 46 C. 56 D. 66
2.观察数据0，3，8，15，24，35，…，寻找规律，则第10个数为（ ）
A. 80 B. 81 C. 99 D. 100
3.观察一串数:0，2，4，6，…，第n个数应为（ ）
A. 2（n－1） B. 2n－1 C. 2（n＋1） D. 2n＋1
4.观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ）
51 B. 45 C. 42 D. 31
5.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十边形需要黑色棋子的个数是（ ）
6.观察日历，下列问题请你试一试你一定行请你探究:阴影方框中的数字有什么关系？用表格中的字母表示其规律。
7.按规律排列的一列数:2，5，8，11，…请你观察这一列数的规律，可用表述的方式或用式子表示的方式说明你所发现的规律。
8.下面给出依次排列的一列数:
－1，2，－4，8，－16，32，…
（1）按照给出的这几个数的排列规律，写出后面排列的三个数；
（2）试着写出这一列数的第2014个数是多少，第2015个呢？
B 综合运用
9.如果有2002名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，…的规律报数，那么第2002名学生所报的数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，如果从左到右，在每个小方格中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，按照这样的规律填写，第2015个格子内的数为（ ）
3 a b c －1
2
…
3 B. －1 C. 0 D. 2
11.（赤峰模拟）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是___________。
12.陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照以下步骤进行计算:
①任想一个两位数a，把a乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
＠把a乘2，再加上30，把所得的和除以2；
3把0所得的结果减去＠所得的结果，这个差即为最后的结果.
陈老师说:只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数a.
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31.
请:（1）用含a的式子表示游戏的过程；
（2）用字母a解释陈老师猜数的方法.
观察下列三行数并按规律填空:
－1，2，－3，4，－5，_________，_________，…；
1，4，9，16， 25，________，_________，…；
0，3，8，15，24，_________，_________，…
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
C 拓展探究
14.（绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c＝_____________。
参考答案
考点知识清单
例1 解:（1）13，19；（2）（3n＋1）；（3）3×2008＋1＝6024＋1＝6025（根）.
题组训练
1.解:第一个图案基础图形的个数:3＋1＝4；第二个图案基础形的个数:3×2＋1＝7；第三个图案基础图形的个数:3×3＋1＝10…第n个图案基础图形的个数就应该为3n＋1。
2.解:（1）填表:
图形序号 1 2 3 4 5
小圆个数（个） 6 10 16 24 34
（2）第n个图形中小圆的个数为n（n＋1）＋4，搭第8个这样的图形需要8×9＋4＝76（个）小圆。
考点2
例2 解:（1）甲框住的四个数的和为a＋（a＋1）＋（a＋7）＋（a＋8）＝4a＋16；
乙框住的四个数的和为b＋（b＋6）＋（b＋7）＋（b＋8）＝4b＋21；
（2）当a＝b时，（4a＋16）－（4b＋21）＝4a＋16－4b－21＝-5，所以甲框住的四个数的和比乙框住的四个数的和大－5；
（3）4a＋16＝48，解得a＝8，所以甲框住的四个数的和能是48，此时a＝8；
4b＋21＝48，解得b＝，不是正整数，故乙框住的四个数的和不能是48.
题组训练
3.解:（1）方框内对角线上2个数的和相等.理由是:设左上角的数为a，则其他三个数为a＋1、a＋7、a＋8，而a＋a＋8＝2a＋8，a＋1＋a＋7＝2a＋8，所以结论成立；
（2）①9个数的和是中间数的9倍，理由:设最中间的一个数为x，则这九个数可表示为x－8，x－7，x－6，x－1，x，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，由题意得x－8＋x－7＋x－6＋x－1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋7＋x＋8＝9x；
②方框内对角线上3个数的和相等，理由:x－8＋x＋x＋8＝3x，x－6＋x＋x＋6＝3x.
4.解:（1）如图1，十字框框出的5个数的和为100，恰好是中间数的5倍.
（2）如图2，任意框住5个数，设中间的数为a，则仍然有这个规律。
（3）如图3，若5a＝2000，则a＝400，框住的5个数是388398，400，402，412；
若5a＝2040，则a＝408，由于408是12的倍数，在最后一列，故不能框出5个数。
【提分突破】
A基础巩固
1.D 2.C 3.A 4.D 5.A
a a+1
a+7 a+8
6.解:如图所示:
7.解:因为2＋3＝5，2＋3＋3＝8，2＋3＋3＋3＝11，…所以第n个数为2＋3（n－1）＝3n－1。
8.解:（1）－1，2，－4，8，－16，32，…，规律是前一个数乘（－2）就得后一个数，所以，后面的3项:－64，128，－256；
（2）第n个数是（－1）n2n－1，所以第2014个数是22013，第2015个数是－22014
B 综合运用
9.B 10.B 11.（2n－1）（n＋1）
12.解:（1）由题意可知，第①步运算的结果为2（2a＋9）＝4a＋18；第②步运算的结果为（2a＋30）＝a＋15；则最后结果为（4a＋18）－（a＋15）＝3a＋3＝3（a＋1）；
（2）若最后结果为96，则3（a＋1）＝96，解得a＝31，
陈老师猜数a的方法是:将学生所得的最后结果除以3，再减去1；或者将学生所得的最后结果减去3，再除以3。
13.解:根据数据变化规律得出:空格分别填:6，－7；36，49；35，48。
（1）第一行数是－1，2，－3，4，－5，…，即（－1）nn。
（2）对于一、二两行中位置对应的数，可以发现:第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，第三行每一个数是第二行对应的数减1得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减1得到。
（3）根据规律得出:第一行数第10个数为10，第二行数第10个数为100，第三行数第10个数为99，则这三个数的和为10＋100＋99＝209。
C拓展探究
14.110 【解析】根据左上角＋4＝左下角，左上角＋3＝右上角，右下角的数为左下和右上的积加上1的和，可得6＋4＝a，6＋3＝c，ac＋1＝b，可得a＝10，c＝9，b＝91，所以a＋b＋c＝10＋91＋9＝110.
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第三章 整式及其加减
7 探索与表达规律
考点知识清单
考点1 探索一组图形的变化规律
例1 下列是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形。
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；
（2）第n个图形中共有___________根火柴（用含n的式子表示）；
（3）请计算第2008个图形中共有多少根火柴.
思路提示: 该类问题常有两种思考角度，一是根据图形规律求解，二是根据数字规律求解.需要关注的是图形中点的个数与图形序号之间的关系.容易看出，第1个图形由4根火柴棒组成，第2个图形由7根火柴棒组成，即以后每一个图形比前一个图形多3根火柴棒，据此规律易解决各个问题.
方法归纳
当一组图形按照某种规律发生变化时，我们可以利用已知图形的变化特征进行分析、猜想，从而获得变化规律.
题组训练
1.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……第n（n是正整数）个图案由多少个基础图形组成的呢？
从前三个图形可以找出规律:第1个图案基本图形的个数为4＝1×3＋1；第2个图案基本图形的个数为7＝2×3＋1；第3个图案基本图形的个数为10＝3×3＋1…因此第n个图案基本图形的个数就可以知道了，你能写出来吗？试试看.
2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:
（1）填写下表:
图形序号 1 2 3 4 5
小圆个数（个） 6 10 16
（2）照这样的规律搭下去，搭第8个这样的图形需要多少个小圆？
考点2 探索一组数的变化规律
例2 用如图所示形状的甲、乙两个框，都能框住某月日历表中的四个数，设被框住的四个数中:甲框住的最小的数为a；乙框住的最小的数为b。
（1）用a和b分别表示甲和乙框住的四个数的和；
（2）若a＝b，求甲框住的四个数的和比乙框住的四个数的和大多少？
（3）甲框住的四个数的和能是48吗？乙呢？若能，求出a，b的值；若不能，请说明理由。
思路提示: 日历中的数字为连续的正整数，且一周7天，据此可得竖列、横行与斜对角两个日期之间的关系，据此列代数式解决问题即可。
方法归纳
日历表中横行相邻两数相差1，纵行相邻两数相差7.
题组训练
3.观察月历:
（1）用一个长方形去框图中的4个数（如图中深色方框所示），则方框内对角线上2个数的和有什么关系？请用字母表示出你发现的规律，并说明其正确性；
（2）用一个长方形去框图中的9个数（如图中的阴影方框所示），你知道它们之间有什么关系吗？请用字母表示，写出两个正确的结论，并说明它们的正确性。
4.将连续的偶数2，4，6，8，10…排成如下的数表，用十字框框出5个数，请回答:
（1）十字框框出的5个数的和与框子中间的数有什么关系？
（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？
（3）十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2040吗？若能，请写出这5个数；若不能，请说明理由.
2 4 6 8 10 12
14 16 18 20 22 24
26 28 30 32 34 36
38 40 42 44 46 48
…
提分突破
A 基础巩固
1.已知一列数4，6，10，18，34，…，则第6个数应该是（ ）
A. 44 B. 46 C. 56 D. 66
2.观察数据0，3，8，15，24，35，…，寻找规律，则第10个数为（ ）
A. 80 B. 81 C. 99 D. 100
3.观察一串数:0，2，4，6，…，第n个数应为（ ）
A. 2（n－1） B. 2n－1 C. 2（n＋1） D. 2n＋1
4.观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ）
51 B. 45 C. 42 D. 31
5.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十边形需要黑色棋子的个数是（ ）
6.观察日历，下列问题请你试一试你一定行请你探究:阴影方框中的数字有什么关系？用表格中的字母表示其规律。
7.按规律排列的一列数:2，5，8，11，…请你观察这一列数的规律，可用表述的方式或用式子表示的方式说明你所发现的规律。
8.下面给出依次排列的一列数:
－1，2，－4，8，－16，32，…
（1）按照给出的这几个数的排列规律，写出后面排列的三个数；
（2）试着写出这一列数的第2014个数是多少，第2015个呢？
B 综合运用
9.如果有2002名学生排成一列，按1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，…的规律报数，那么第2002名学生所报的数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，如果从左到右，在每个小方格中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，按照这样的规律填写，第2015个格子内的数为（ ）
3 a b c －1
2
…
3 B. －1 C. 0 D. 2
11.（赤峰模拟）“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是___________。
12.陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照以下步骤进行计算:
①任想一个两位数a，把a乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
＠把a乘2，再加上30，把所得的和除以2；
3把0所得的结果减去＠所得的结果，这个差即为最后的结果.
陈老师说:只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数a.
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31.
请:（1）用含a的式子表示游戏的过程；
（2）用字母a解释陈老师猜数的方法.
观察下列三行数并按规律填空:
－1，2，－3，4，－5，_________，_________，…；
1，4，9，16， 25，________，_________，…；
0，3，8，15，24，_________，_________，…
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
C 拓展探究
14.（绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c＝_____________。
参考答案
考点知识清单
例1 解:（1）13，19；（2）（3n＋1）；（3）3×2008＋1＝6024＋1＝6025（根）.
题组训练
1.解:第一个图案基础图形的个数:3＋1＝4；第二个图案基础形的个数:3×2＋1＝7；第三个图案基础图形的个数:3×3＋1＝10…第n个图案基础图形的个数就应该为3n＋1。
2.解:（1）填表:
图形序号 1 2 3 4 5
小圆个数（个） 6 10 16 24 34
（2）第n个图形中小圆的个数为n（n＋1）＋4，搭第8个这样的图形需要8×9＋4＝76（个）小圆。
考点2
例2 解:（1）甲框住的四个数的和为a＋（a＋1）＋（a＋7）＋（a＋8）＝4a＋16；
乙框住的四个数的和为b＋（b＋6）＋（b＋7）＋（b＋8）＝4b＋21；
（2）当a＝b时，（4a＋16）－（4b＋21）＝4a＋16－4b－21＝-5，所以甲框住的四个数的和比乙框住的四个数的和大－5；
（3）4a＋16＝48，解得a＝8，所以甲框住的四个数的和能是48，此时a＝8；
4b＋21＝48，解得b＝，不是正整数，故乙框住的四个数的和不能是48.
题组训练
3.解:（1）方框内对角线上2个数的和相等.理由是:设左上角的数为a，则其他三个数为a＋1、a＋7、a＋8，而a＋a＋8＝2a＋8，a＋1＋a＋7＝2a＋8，所以结论成立；
（2）①9个数的和是中间数的9倍，理由:设最中间的一个数为x，则这九个数可表示为x－8，x－7，x－6，x－1，x，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，由题意得x－8＋x－7＋x－6＋x－1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋7＋x＋8＝9x；
②方框内对角线上3个数的和相等，理由:x－8＋x＋x＋8＝3x，x－6＋x＋x＋6＝3x.
4.解:（1）如图1，十字框框出的5个数的和为100，恰好是中间数的5倍.
（2）如图2，任意框住5个数，设中间的数为a，则仍然有这个规律。
（3）如图3，若5a＝2000，则a＝400，框住的5个数是388398，400，402，412；
若5a＝2040，则a＝408，由于408是12的倍数，在最后一列，故不能框出5个数。
【提分突破】
A基础巩固
1.D 2.C 3.A 4.D 5.A
a a+1
a+7 a+8
6.解:如图所示:
7.解:因为2＋3＝5，2＋3＋3＝8，2＋3＋3＋3＝11，…所以第n个数为2＋3（n－1）＝3n－1。
8.解:（1）－1，2，－4，8，－16，32，…，规律是前一个数乘（－2）就得后一个数，所以，后面的3项:－64，128，－256；
（2）第n个数是（－1）n2n－1，所以第2014个数是22013，第2015个数是－22014
B 综合运用
9.B 10.B 11.（2n－1）（n＋1）
12.解:（1）由题意可知，第①步运算的结果为2（2a＋9）＝4a＋18；第②步运算的结果为（2a＋30）＝a＋15；则最后结果为（4a＋18）－（a＋15）＝3a＋3＝3（a＋1）；
（2）若最后结果为96，则3（a＋1）＝96，解得a＝31，
陈老师猜数a的方法是:将学生所得的最后结果除以3，再减去1；或者将学生所得的最后结果减去3，再除以3。
13.解:根据数据变化规律得出:空格分别填:6，－7；36，49；35，48。
（1）第一行数是－1，2，－3，4，－5，…，即（－1）nn。
（2）对于一、二两行中位置对应的数，可以发现:第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，第三行每一个数是第二行对应的数减1得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减1得到。
（3）根据规律得出:第一行数第10个数为10，第二行数第10个数为100，第三行数第10个数为99，则这三个数的和为10＋100＋99＝209。
C拓展探究
14.110 【解析】根据左上角＋4＝左下角，左上角＋3＝右上角，右下角的数为左下和右上的积加上1的和，可得6＋4＝a，6＋3＝c，ac＋1＝b，可得a＝10，c＝9，b＝91，所以a＋b＋c＝10＋91＋9＝110.
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