4.4对数函数 同步学案

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对数函数学习同步学案
一．学习目标
在前面学习的函数基本性质的基础上，继续通过具体函数为例，说明函数的性质在解题过程中的运用。
①理解对数函数的概念与意义，掌握对数函数的定义域、值域的求法；
②能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说出对数函数的性质；
③掌握对数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小；
④通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用对数函数的图象研究一些实际问题。
二．基础知识
1．对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中对数是自变量，定义域是；
理解：
(1)对数函数的定义域为什么是？
，真数为幂值，故式子中，
(2)对数函数的解析式有什么特征？
①；②的系数为1；③自变量的系数为1
2．对数函数的图像与性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
值域
__R__
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
(1)当时，恒成立，即对数函数的图象一定过点．
(2)
底数
x的范围
y的范围
3．反函数
指数函数与对数函数互为反函数，它们定义域与值域正好互换，且两者的图像关于直线对称。
三．思维辨析
1.下列函数是对数函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
2.函数的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为____
四．典例分析与性质总结
题型1：对数函数的概念
例1：①；②(a∈R)；③；④；⑤；
⑥；⑦．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
总结：对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，且；
(2)在解析式中，的系数必须为1，真数必须为，底数且的常数．
题型2：对数函数定义域
例2：求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3)
总结：求对数函数定义域思路总结
定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性。
题型3：对数型函数的实际应用
例3：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过，若初时含杂质2%，每过滤一次可
使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？（参考数据
）
总结：建立对数函数模型解决应用问题
对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题。
题型4：对数函数的图象
例4：已知图中曲线分别是函数、、、的图象，则的大小关系是(　　)
总结：对数函数图像的应用
1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决。
2.对数值的符号规律：“同正异负”
(1)当、或、时，，即当真数和底数同大于(或大于0且小于)1时，对数，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当、或、时，，即当真数和底数中一个大于1，而另一个大于0且小于1时，也就是说真数和底数的取值范围“相异”时，对数，即对数值为负数，简称为“异负”。
3.指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题。
题型5：与对数函数有关的定义域、值域问题
例5：⑴函数的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
总结：
1.求对数型函数的定义域时常用的模型
2．与对数函数值域相关的问题
(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法．
(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．
题型6：利用对数函数的单调性比较大小
例6：比较下列各组中两个值的大小：
(1)，；
(2)，；
(3，；
(4)，
总结：
1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2.常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论．
(2)形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解．
(3)形如的不等式，可利用图象求解。
题型7：对数型复合函数的单调性
对于对数型复合函数来说，函数可看成是与两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断；
另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
对于形如的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成与两个函数；
(2)解，求出函数的定义域；
(3)求的取值范围；
(4)利用的单调性求解．
例7：讨论函数的单调性．
总结：
求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性。
例8：求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
总结：
1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2.对于形如的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成，两个函数；②求的定义域；③求的取值范围；④利用的单调性求解．
题型8：对数型复合函数的奇偶性
例9：已知函数．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并加以证明．
总结：
判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称。
例10：已知是奇函数．
(1)求；
(2)判断在上的单调性，并加以证明．
总结：
(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由或直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由或(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如函数的单调性时，应先比较与对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系。
五．变式演练与提高
1.指出下列函数中，哪些是对数函数？
A.
；
B.
；
C.
；
D.
．
2.函数的定义域为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：)．
4.已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为(　　)
A．
B．
C．
D．
5.已知，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是(　　)
6.已知，，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
7.已知，，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
8.已知函数的值域为，则函数的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
9.函数的单调递减区间是(　　)
A．
B．
C．
D．
10.已知满足，求的最大值与最小值及相应
的值。
11.函数在上的最大值为1，则____
12.函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
问题延伸：通过上述的解题思路可以看出，如下函数也是奇函数：、
六．反思总结
在研究对数函数的过程中，定义域要牢记，否则就容易出现错误。如下面的例题。
例：若函数在上是减函数，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
[错解]　错解一：因为函数在上是减函数，根据对数函数在时单调递减，知选A．
错解二：令，由题知为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使在上为减函数，则需为增函数，从而得，故选D．
[错因分析]　在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解]　令，由题知为减函数，又根据对数函数定义域要求在上恒大于零，当时，，解得；
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使在上为减函数，则需为增函数，所以
综上可得，故选B．
[方法点拨]　对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0；忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误；如本例中，在时一定要保证才有意义。
七．课后作业
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1.函数的定义域(　　)
A．
B．
C．
D．
2.函数的定义域为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.函数的定义域为，则函数的定义域为____
4.函数的值域为(　　)
A．
B．
C．
D．
5.下列说法正确的个数是(　　)
(1)对数函数的图象都过定点．
(2)对数函数的图象都在轴的右侧．
(3)若对数函数是减函数，则
A．0
B．1
C．2
D．3
6.函数的图象恒过定点____
7.与的图象关于(　　)
A．轴对称
B．直线对称
C．原点对称
D．轴对称
8.若，则的取值范围为____
9.已知，则的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
10.函数的单调递增区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
11.设，则的大小关系是(　　)
A．
B．
C．
D．
12.设函数，则是(　　)
A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数
D．偶函数，且在上是减函数
13.已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.解析
判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“”的形式，A，B，C全错，D正确．
2.解析　
要使函数有意义，应满足，∴，故选D
3.解析　
设对数函数为，则，∴，
∴，∴
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
[分析]　(1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？
[解析]　根据对数函数的定义进行判断：
由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；
由于②中底数不能保证且，∴②不是对数函数；
由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；
由于⑥中系数为2，∴⑥不是对数函数；
只有③、④符合对数函数的定义．
例2：解析：
[分析]　依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．
[解析]　(1)要使函数有意义，需
，解得.
故函数的定义域为．
(2)要使函数有意义，需使，即，
解得，故函数的定义域为．
(3)要使函数有意义，需使，
∴，即.
故函数的定义域为．
例3：解析：
设过滤次后杂质含量为，则，则，
令，则
代入近似值，可解得，
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．
例4：解析：
[分析]由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用，结合图象判断。
[解析]　在图中作一条直线.
由对数函数的定义可知，该直线与四组曲线的交点分别为；
由图象可知
例5：解析：
⑴由题意得∴
∴，故选D．
⑵由题意得，，
由题意知，，∴.
例6：解析：
[分析]　(1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？
(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？
(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？
[解析]　(1)因为函数在上是增函数，所以.
(2)当时，函数在上是增函数，所以；
(3)因为，所以，
即.
(4)因为函数是增函数，所以；同理，，所以
例7：解析：
[分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[解析]　由，得函数的定义域为．
当时：为增函数，
若，∵为增函数，∴为增函数．
若，∵为减函数，∴为减函数．
当时：为减函数，
若，∵为增函数，∴为减函数．
若，∵为减函数，∴为增函数．
例8：解析：
(1)的定义域为R.
∵，∴.
∴的值域为．
(2)设，则，∵，∴.
又在上是减函数，∴，
∴的值域为．
例9：解析：
(1)由题意得，
∴
∴函数的定义域为．
(2)由(1)知函数的定义域为关于原点对称．
∴
∴函数为奇函数．
例10：解析：
(1)，；
∵是奇函数，∴，
即，得.
(2)在上单调递减．
证明：由(1)知．
任取满足，
∵
由知，，，，
∴，即
又为增函数，∴
即，∴在上是减函数．
（五．变式演练与提高）
1.解析：
A中的系数为，∴不是对数函数；
B中的真数为，∴不是对数函数；
D中的真数是，∴不是对数函数；
只有C是对数函数．
2.解析：
使函数有意义应满足，即，故选C．
3.解析：
设经过年后公司的研发资金为，
则，所以，令，所以，
所以到2021年，公司研发资金开始超过200万元．
4.解析：
设对数函数为，则，∴，∴，∴，故选B
5.解析：
由得，则与的单调性一致，故选B
6.解析：
因为函数在上是增函数，所以，
因为函数在上是增函数，所以，
所以，即
7.解析：
；，由对数函数的性质可知
∴，故选A．
8.解析：
由，得，解得
9.解析：
令，
∴或.∴的定义域
函数的单调递减区间即为在上的递减区间．故选B
10.解析：
由，得，
∴.
令，
∴，
∴当，即，时，函数取最小值；当，即，时，
函数的最大值
11.解析：
当时，的最大值是，则，∴符合题意；
当时，的最大值是，则，∴舍去
故而
12.解析：
函数的定义域为，关于原点对称．
又
即；∴函数为奇函数．
（七．课后作业）
1.解析：
由题意得，∴，故选D．
2.解析：
由题意得
∴，故选C
3.解析：
由定义域为知，，解得，
故定义域为
4.解析：
∵，且在上单调递增，
∴，故该函数的值域为
5.解析：
对于(1)，对数函数的图象都过定点，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，
由对数函数的单调性可知，，所以，正确．
6.解析：
令，∴，则，故函数的图象恒过定点
7.解析：
函数与是互为反函数，故它们的图象关于直线对称．
8.解析：
即；
当时，函数在定义域内是增函数，所以总成立；
当时，函数在定义域内是减函数，由，得，故
故的取值范围为或
9.解析：
因为函数在上单调递减，
所以原不等式等价于
解得
10.解析：
由题意，得
∴或.
令，函数的单调递增区间即为函数在上的单调递减区间，又在上递减，故选A．
11.解析：
，，，
∴.
12.解析：
由题意可得，函数的定义域为，且；
易知在上为增函数，故在上为增函数，
又，故为奇函数，选A．
13.解析：
(1)令，则.
由题意知，即，则.
所以；故．
(2)?()．由，得；
因为，所以。
由，得，
即，解得或，
又，，所以或.
故原不等式的解集为．
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